Olimpíadas ⇒ Múltiplo de 7 Tópico resolvido

[Thadeu]

Esmeralda digitou corretamente um múltiplo de 7 muito grande, com 4010 algarismos. Da esquerda para a direita, os seus algarismos são 2004 algarismos 1, um algarismo n e 2005 algarismos 2. Qual é o valor de n?

a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7

[Auto Excluído (ID:276)]

Oi, Thadeu. Esqueceu de informar de qual olimpíada é esta questão, e seu ano. além do gabarito

fiz assim...

o número descrito acima é [tex3]\underbrace{11111...11}_{\text{"2004" uns}}n\underbrace{22222...22}_{\text{"2005" dois}}[/tex3]

que é

[tex3]\frac{10^{2006}(10^{2004}-1) + 2(10^{2005}-1)}{9}+ 10^{2005}n[/tex3]

(só decompor em potências de 10 )

tabela relacionando os números formados por 1 e seus restos na divisão por 7

1 => 1
11 => 4
111 <-> 41 => 6
1111 <-> 61 => 5
11111 <-> 51 => 2
111111 <-> 21 => 0
1111111 <-> 01 => 1

a parti daí vai repetindo, então temos algumas conclusões

[tex3]\underbrace{22222...22}_{\text{"2005" dois}} \equiv 2 (mod 7)[/tex3]

e

[tex3]\underbrace{11111...11}_{\text{"2004" uns}}\underbrace{00000...00}_{\text{"2006" zeros}} \equiv 0 (mod 7)[/tex3]

então devemos ter [tex3]10^{2005}n \equiv 5 (mod 7)[/tex3]

como [tex3]10^{2005} = \underbrace{11111...11}_{\text{"2006" uns}} - \underbrace{11111...11}_{\text{"2005" uns}}[/tex3]

e estes números deixam respectivamente 4 e 1 , logo [tex3]10^{2005} \equiv 3 (mod 7)[/tex3]


então devemos ter [tex3]3r = 7k + 5 \Rightarrow r=4[/tex3]

como n tem um algarismo, logo [tex3]n=4[/tex3]

acho q é isso . fui !

[Thadeu]

É a Olimpíada Brasileira de Matemática - 2005

O gabarito eu não tenho