Ensino Médio ⇒ Progressão Aritmética e Polígonos Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

O menor ângulo de um polígono convexo mede 139º. Sabendo que seus ângulos estão em PA de razão 2º então este polígono possui número de lados par?

[adrianotavares]

Como seus ângulos estão em PA , podemos achar o [tex3]n-[/tex3] ésimo ângulo.

• [tex3]a_n = a_1 + (n - 1) . r[/tex3]
  [tex3]a_n = 139 + (n - 1) . 2[/tex3]
  [tex3]a_n = 139 + 2n - 2[/tex3]
  [tex3]a_n = 2n + 137[/tex3]

A soma desses ângulos é igual a :

• [tex3]S_n = \frac{(a_1 + a_n). n}{2}[/tex3]
  [tex3]S_n = \frac{(139 + 2n 137). n}{2}[/tex3]
  [tex3]S_n = \frac{(276 + 2n). n}{2}[/tex3]
  [tex3]S_n = \frac{(2n^2 + 276n)}{2}[/tex3]
  [tex3]S_n =n^2 + 138n[/tex3] (1)

Sabemos que a soma dos ângulos interno de um polígono é dado por:

• [tex3]S_n = 180.(n - 2)[/tex3] (2)

Igualando (1) e (2) temos:

• [tex3]180.(n - 2) = n^2 + 138n[/tex3]
  [tex3]180n - 360 = n^2 + 138n[/tex3]
  [tex3]n^2 + 138n - 180n + 360 = 0[/tex3]
  [tex3]n^2 - 42n + 360 = 0[/tex3]

Resolvendo esta equação do 2º grau encontramos [tex3]n[/tex3] igual a :

• [tex3]n = 30[/tex3]

Logo este polígono possui número par de lados.