IME / ITA ⇒ (ITA - 2000) Geometria Espacial: Tronco de Pirâmide Tópico resolvido

[jgpret]

Considere uma pirâmide regular com altura de [tex3]\frac{6}{\sqrt[3]{9}} \text{ cm}.[/tex3] Aplique a esta pirâmide dois cortes planos e paralelos à base de tal maneira que a nova pirâmide e os dois troncos obtidos tenham, os três, o mesmo volume. A altura do tronco cuja base é a base da pirâmide original é igual a:

[tex3]\text{a) } 2(\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{6}) \text{ cm}[/tex3]
[tex3]\text{b) } 2(\sqrt[3]{6} - \sqrt[3]{2}) \text{ cm}[/tex3]
[tex3]\text{c) } 2(\sqrt[3]{6} - \sqrt[3]{3}) \text{ cm}[/tex3]
[tex3]\text{d) } 2(\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2}) \text{ cm}[/tex3]
[tex3]\text{e) } 2(\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3}) \text{ cm}[/tex3]

Boa Noite!
Peço ajuda na resolução desse problema. Não consigo chegar na alternativa exata.
Grato!

[Beastie]

Sejam [tex3]h, h_1, h_2[/tex3] e [tex3]h_3[/tex3] as alturas da pirâmide maior, da pirâmide menor, do tronco de pirâmide abaixo desta e o tronco de pirâmide cuja base é igual à base original. Por semelhança:

• [tex3]V_1=\(\frac{h_1}{h}\)^3\cdot V=\frac{1}{3}V\Rightarrow \frac{h_1}{\frac{6}{\sqrt[3]{9}}}=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\Rightarrow h_1=2\,\text{cm};[/tex3]
  
  [tex3]V_1+V_2=\(\frac{h_1+h_2}{h}\)^3\cdot V=\frac{2}{3}V\Rightarrow \frac{h_1+h_2}{h}=\sqrt[3]{\frac{2}{3}}\Rightarrow h_2=2\sqrt[3]{2}-2\,\text{cm}.[/tex3]

Como [tex3]h_3=h-h_1-h_2,[/tex3] [tex3]h_3=\frac{6}{\sqrt[3]{9}}-2-(2\sqrt[3]{2}-2)=2\sqrt[3]{3}-2\sqrt[3]{2}=2(\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2})\,\text{cm},[/tex3] letra (d).