Ensino Fundamental ⇒ Problema do 2º Grau: Idades

[vicente487]

Quando Carlos tiver a idade que o pai tem hoje, sua irmã será duas vezes mais velha do que é atualmente e a idade do pai será o dobro da que terá Carlos quando a sua irmã tiver a idade atual do pai. O produto das idades dos três dividido pela soma das idades deles é igual a 432. Qual a idade de cada um?

[Karl Weierstrass]

Considere a tabela abaixo, onde [tex3]h[/tex3] representa a data hoje e [tex3]t_2>t_1>h.[/tex3]

• • [tex3]\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline & h & t_1 & t_2 \\
    \hline \text{Carlos} & \frac{3y-x}{2} & \frac{x+y}{2} & x \\
    \hline \text{pai} & x & 2x-y & x+y\\
    \hline \text{irm\tilde{a}} & y & x & 2y\\
    \hline
    \end{array}[/tex3]

Logo, do enunciado vem:

• [tex3]\Large \frac{\(\frac{3y-x}{2}\)\cdot x\cdot y}{\frac{3y-x}{2}+x+y}\large=432\text{ }(i)[/tex3]

Além disso, observe que [tex3]t_2-h=y[/tex3] anos. Desse modo,

• [tex3]\frac{3y-x}{2}+y=x\Longrightarrow y=\frac{3x}{5}.\text{ }(ii)[/tex3]

Substituindo [tex3](ii)[/tex3] em [tex3](i)[/tex3] e simplificando, obtemos:

• [tex3]x=60 \Longrightarrow y=36.[/tex3]

Resposta: Carlos tem [tex3]24[/tex3] anos, o pai tem [tex3]60[/tex3] anos e a irmã tem [tex3]36[/tex3] anos.