Ensino Superior ⇒ Momento de inércia - calculo 2 Tópico resolvido

[gerlanmatfis]

Calcule o momento de inércia com relação ao eixo z do solido homogeneo w, limitado por [tex3]z=\sqrt{x^{2}}+y^{2}[/tex3] e [tex3]z=1[/tex3]

[gerlanmatfis]

Me ajudem nessa questão, galera.

[lorramrj]

Temos a integral:
[tex3]I = \int_w r^2 dm[/tex3]

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OBS: acho que você erreu em digitar o sólido, não seria: [tex3]\boxed{z = \sqrt{x^2+y^2}}[/tex3] (parte superior de um cone) ???
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Então w é a região delimitada pelo sólido [tex3]z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}[/tex3] e [tex3]z=1[/tex3].

Temos:
[tex3]\rho = \frac{dm}{dV} \rightarrow dm = \rho dV = \rho dxdydz[/tex3]

Então, ficamos com a integral tripla:
[tex3]I = \iiint_w r^2 \rho \space dxdydz[/tex3]

Temos: [tex3]r^2 = x^2+y^2[/tex3]

Logo, a integral em coordenadas cilíndricas:
[tex3]I = \rho \int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{\sqrt{r^2}}^{1} r^2\space.\space r\space \space dzdrd\theta =
\rho\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{1}\ \space (1-r)\space.r^3 dzdrd\theta = \rho \int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{1} r^3-r^4\space drd\theta
=\rho \int\limits_{0}^{2\pi} [ \frac{1}{4}r^4 - \frac{1}{5}r^5]^1_0 = 2\pi\rho(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})= 2\pi\rho(\frac{1}{20}) = \frac{\rho\pi}{10}\space [kg.m^2][/tex3]

[gerlanmatfis]

Amigo, vc poderia fazer o esboço do sólido?
Por favor