IME / ITA ⇒ (AFA - 2000) Geometria Analítica: Cônicas Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

A equação reduzida da hipérbole, cujos focos são os extremos do eixo menor da elipse de equação [tex3]16x^2+25y^2=625,[/tex3] e cuja excentricidade é igual ao inverso da excentricidade da elipse dada, é :

a) [tex3]16y^2-9x^2=144[/tex3]
b) [tex3]9y^2-16x^2=144[/tex3]
c) [tex3]9x^2-16y^2=144[/tex3]
d) [tex3]16x^2-9y^2=144[/tex3]

[Natan]

Oi Aldrin!

primeiro vamos escrever a equação dada na forma reduzida, dividindo todos os termos por [tex3]625.[/tex3]

• [tex3]\frac{16x^{2}}{625}+\frac{25y^{2}}{625}=\frac{625}{625}[/tex3]
  
  [tex3]\frac{x^{2}}{\frac{625}{16}}+\frac{y^{2}}{25}=1[/tex3]
  
  [tex3]a^2=\frac{625}{16} \Longrightarrow a=\frac{25}{4}[/tex3]
  
  [tex3]b^2=25\Longrightarrow b=5[/tex3]

Como [tex3]\frac{25}{4} >5,[/tex3] o eixo maior da elipse está sobre o eixo [tex3]x,[/tex3] logo o eixo menor tem coordenadas [tex3]B_{1}(0, -5)[/tex3] e [tex3]B_{2}(0, 5).[/tex3]

• [tex3]a^2=b^2+c^2[/tex3]
  
  [tex3]\left(\frac{25}{4}\right)^2=5^2+c^2 \Longrightarrow c=\frac{15}{4}[/tex3]

A excentricidade da elipse é dada por [tex3]e=\frac{c}{a},[/tex3] logo:

• [tex3]e=\frac{3}{5}[/tex3].

Pelo enunciado os focos da hipérbole são [tex3]F_{1}(0, -5)[/tex3] e [tex3]F_{2}(0, 5).[/tex3] Como [tex3]c'=5[/tex3] e a excentricidade é [tex3]e'=\frac{5}{3},[/tex3]

• [tex3]\frac{5}{3}=\frac{5}{a'}\Longrightarrow a'=3.[/tex3]

Daí,

• [tex3]c'^2=a'^2+b'^2\Longrightarrow 25=9+b'^2 \Longrightarrow b'=4.[/tex3]

Se os focos da hipérbole estão sobre o eixo [tex3]y[/tex3] então o seu eixo real também está, logo sua equação é da forma

• [tex3]\frac{y^2}{a'^2}-\frac{x^2}{b'^2}=1.[/tex3]

Assim a equação procurada é:

• [tex3]\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{16}=1[/tex3]

Multiplicando ambos os lados por [tex3]144[/tex3] vem:

• [tex3]16y^{2}-9x^{2}=144.[/tex3]

Letra (a).