Concursos Públicos ⇒ Polinômios: Mínimo Múltiplo Comum

[barbarahass]

O [tex3]\text{mmc}[/tex3] de [tex3](x^{2}-y^{2})[/tex3], [tex3](x^{2}+2xy+y^{2})[/tex3] e [tex3](x^{3}+y^{3})[/tex3] é dado por:

a) [tex3](x+y)^{2}(x-y)(x^{2}-xy+y^{2})[/tex3]
b) [tex3](x+y)(x-y)^{2}(x^{2}-xy+y^{2})[/tex3]
c) [tex3](x+y)^{4}(x-y)(x^{2}-xy+y^{2})[/tex3]
d) [tex3](x+y)(x-y)^{2}(x^{2}-xy+y^{2})[/tex3]
e) [tex3](x+y)(x^{2}-y^{2})^{2}(x^{2}-xy+y^{2})^{2}[/tex3]

Resposta:

---

(a)

[Doug]

Oi, fatorando,

• [tex3]x^{2}-y^{2}=(x+y).(x-y)\\(x^{2}+2xy+y^{2})= \,(x+y)^{2}\\(x^{3}+y^{3})=(x+y).(x^2-xy+y^2)[/tex3]

O [tex3]\text{mmc}[/tex3] é:

• [tex3](x+y)^2\cdot (x-y)\cdot (x^2-xy+y^2)[/tex3]

Se não entender alguma coisa é só perguntar, abraço e t+

[barbarahass]

Olá Doug, tudo bem? Eu tenho uma dúvida, você fatorou os polinômios, e o mmc são os valores do resultado da fatoração e se repetido, você pega o maior valor. E se ele pedisse o mdc, seria o contrário né?
Obrigada pela resolução; abraços.

[Karl Weierstrass]

Olá Barbara,

Máximo Divisor Comum

Definição: Dados dois polinômios não nulos [tex3]f[/tex3] e [tex3]g,[/tex3] dizemos que o polinômio [tex3]h[/tex3] é o máximo divisor comum de [tex3]f[/tex3] e [tex3]g[/tex3] se, e somente se, verificar as seguintes condições:

• i) [tex3]h[/tex3] é unitário, isto é, seu coeficiente dominante é [tex3]1;[/tex3]
  ii) [tex3]h[/tex3] é divisor de [tex3]f[/tex3] e de [tex3]g;[/tex3]
  iii) se qualquer outro polinômio [tex3]h_1[/tex3] também é divisor de [tex3]f[/tex3] e de [tex3]g,[/tex3] então [tex3]h_1[/tex3] é divisor de [tex3]h.[/tex3]

Exemplo: [tex3]f(x)=(x-1)^3(x+1)(x+2) \text{ e } g(x)=(x-1)^2(x+2)^4(x+3),[/tex3] então [tex3]h(x)=(x-1)^2(x+2)[/tex3] satisfaz (i), (ii) e (iii). Portanto, [tex3]h(x)=\text{mdc}(f,g).[/tex3]

Pelo Teorema da Decomposição, todo polinômio [tex3]P[/tex3] de grau [tex3]n[/tex3] [tex3](n\geq 1)[/tex3]

• [tex3]P=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_1x+a_0 \text{ } (a_n \neq 0)[/tex3]

pode ser decomposto em [tex3]n[/tex3] fatores do primeiro grau, isto é:

• [tex3]P=a_n(x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_n),[/tex3]

onde [tex3]r_1,r_2,\ldots,r_n[/tex3] são as raízes de [tex3]P[/tex3] e [tex3]a_n[/tex3] é o coeficiente dominante de [tex3]P.[/tex3]

Com excessão da ordem dos fatores, tal decomposição é única.

Fonte: Fundamentos de Matemática Elementar. vol.6. Gelson Iezzi. Atual.

[claudiomarianosilveira]

Olá Barbarahass,vou pôr aqui a definição de [tex3]\text{mmc}[/tex3] que esclarecerá a sua dúvida com certeza.

Mínimo Múltiplo Comum

Definição:

Dados dois polinômios não nulos [tex3]f[/tex3] e [tex3]g ,[/tex3] dizemos que [tex3]h[/tex3] é o mínimo múltiplo comum de [tex3]f[/tex3] e [tex3]g[/tex3] se, e somente se, verificar as seguintes condições:

• i) [tex3]h[/tex3] é unitário.
  
  ii) [tex3]h[/tex3] é divisível por [tex3]f[/tex3] e [tex3]g.[/tex3]
  
  iii) Se qualquer outro polinômio [tex3]h_1[/tex3] também é divisível por [tex3]f[/tex3] e [tex3]g,[/tex3] então [tex3]h_1[/tex3] é divisível por [tex3]h.[/tex3]

Indicaremos o mínimo múltiplo comum de dois polinômios com a notação: [tex3]h=\text{mmc}(f,g).[/tex3]

Exemplos:

• 1°) Se [tex3]f=(x-1)(x-2)^2(x-3)[/tex3] e [tex3]g=(x-2)(x-3)(x-4),[/tex3] então [tex3]h=(x-1)(x-2)^2(x-3)(x-4)[/tex3] satisfaz as condições (i), (ii) e (iii), portanto [tex3]h=\text{mmc}(f,g).[/tex3]
  
  2°) Se [tex3]f=x^2-1[/tex3] e [tex3]g=x^3-1,[/tex3] então o [tex3]\text{mmc}(f,g)[/tex3] é [tex3]h=x^4+x^3-x-1[/tex3] por satisfazer as condições (i), (ii) e (iii).

Teorema:

Se [tex3]f[/tex3] ou [tex3]g[/tex3] são polinômios divisíveis por [tex3](x-{\alpha})^m ,[/tex3] então o [tex3]\text{mmc}(f,g)[/tex3] também é divisível por [tex3](x-{\alpha})^m .[/tex3]
Como conseqüência desse teorema, concluímos que se [tex3]\alpha[/tex3] é raiz de [tex3]f[/tex3] e de [tex3]g,[/tex3] com multiplicidades [tex3]m_1[/tex3] e [tex3]m_2,[/tex3] respectivamente, então [tex3]\alpha[/tex3] é raiz do [tex3]\text{mmc}(f,g)[/tex3] com multiplicidade igual ao maior dos números [tex3]m_1[/tex3] ou [tex3]m_2.[/tex3]

Suponhamos dados dois polinômios [tex3]f[/tex3] e [tex3]g,[/tex3] não nulos, já decompostos em fatores:

• [tex3]f=a_n(x-{\alpha})^{n_1}(x - \beta )^{n_2}(x-\gamma)^{n_3}\ldots[/tex3]
  
  [tex3]g=b_m(x-{\alpha})^{m_1}(x- \beta )^{m_2}(x- \gamma)^{m_3}\ldots[/tex3]

onde as bases das potências [tex3]x- \alpha, x- \beta, x- \gamma\ldots[/tex3] são duas a duas distintas.

Decorre do teorema anterior que o [tex3]\text{mmc}(f,g)[/tex3] é o polinômio unitário produto dos fatores comuns e não comuns a [tex3]f[/tex3] e [tex3]g,[/tex3] tomado cada fator com o maior dos expoentes com que aparece em [tex3]f[/tex3] e [tex3]g.[/tex3]

Exemplo:

• [tex3]f=3(x-1)^2(x-2)^3(x-5)^7(x+3)^5[/tex3]
  
  [tex3]g=2(x-1)^3(x-2)^2(x-5)^4(x+4)^7[/tex3]

então [tex3]\text{mmc}(f,g)=(x-1)^3(x-2)^3(x-5)^7(x+3)^5(x+4)^7[/tex3]

Espero ter ajudado na compreensão, abraço!