Pré-Vestibular ⇒ (UFPB - 1979) Trigonometria: Equação Trigonométrica Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Os valores de [tex3]x[/tex3] que satisfazem à equação [tex3]\cos^2x+3\text{sen}x = 3[/tex3] são:

a) [tex3](2k+1)\pi.[/tex3]
b) [tex3]2k\pi+\frac{\pi}{2}.[/tex3]
c) [tex3]2k\pi.[/tex3]
d) [tex3]2k\pi-\frac{\pi}{2}.[/tex3]
e) [tex3]k\pi+\frac{\pi}{4}.[/tex3]

[Natan]

Oi Aldrin, não manjo muito de trigonometria mas vou tentar essa!

Primeiro fazemos a troca: [tex3]cos x=y[/tex3]

• [tex3]y^{2}+3\sqrt{1-y^{2}}=3[/tex3]
  
  [tex3]3\sqrt{1-y^{2}}=3-y^{2}[/tex3]
  
  [tex3]1-y^{2}=\left(\frac{3-y^{2}}{3}\right)^{2}[/tex3]
  
  [tex3]9(1-y^{2})=9-6y^{2}+y^{4}[/tex3]

Arrumando e reduzindo os termos semelhantes chagamos em:

[tex3]y^{4}+3y^{2}=0[/tex3], onde [tex3]0[/tex3] é raiz dupla e [tex3]\sqrt3{i}[/tex3] e [tex3]{-}\sqrt3{i}[/tex3] são raízes complexas, voltando à igualdade inicial:

[tex3]cos x=0[/tex3] então [tex3]x=\frac{\pi}{2},[/tex3] logo a expressão dos arcos côngruos a ele que é o conjunto das infinitas soluções da equação é dado por [tex3]2k{\pi}+\frac{\pi}{2},[/tex3] letra b.

[Karl Weierstrass]

• [tex3]\text{sen}^2x+\cos^2x=1\Longrightarrow cos^2x=1-\text{sen}^2x[/tex3]

Substituindo na equação dada obtemos:

• [tex3]\text{sen}^2x-3\text{sen}x+2=0\Longrightarrow\begin{cases} \text{sen}x=2 \\\text{ } \\\text{ ou} \\\text{sen}x=1 \end{cases}[/tex3]

• i) [tex3]\text{sen}x=2[/tex3] não é satisfeita para nenhum valor real de [tex3]x,[/tex3] pois a imagem da função seno é o intervalo [tex3][-1,1][/tex3]

• ii) [tex3]\text{sen}x=1\Longrightarrow x =\frac{\pi}{2}+2k\pi,\text{ } k \in \mathbb{Z}[/tex3]