IME / ITA ⇒ (IME/CG - 2007) Equações Polinomiais: Relações de Girard Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Sejam [tex3]a,b[/tex3] e [tex3]c[/tex3] as raízes da equação [tex3]4x^3+12x^2+7x+5=0.[/tex3] Determine o valor de [tex3]a^3+b^3+c^3.[/tex3]

[cajuADMIN]

Olá Aldrin,

Essa questão é só aplicação das relações de girard e um pouco de manipulação algébrica. Começamos com a soma das raízes e elevamos ao cubo:

• [tex3](a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3ab(a+b)+3ac(a+c)+3bc(b+c)[/tex3]

Agora somamos e subtraímos a raiz que falta em cada um dos parênteses acima:

• [tex3](a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3ab(a+b+c-c)+3ac(a+b+c-b)+3bc(a+b+c-a)[/tex3]

Efetuamos a propriedade distribuitiva nos parênteses:

• [tex3](a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3ab(a+b+c)-3abc+3ac(a+b+c)-3abc+3bc(a+b+c)-3abc[/tex3]

Agora colocamos o termo [tex3]3(a+b+c)[/tex3] em evidência:

• [tex3](a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b+c)(ab+ac+bc)-9abc[/tex3]
  
  [tex3]a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b+c)(ab+ac+bc)+9abc[/tex3]

Agora é só substituir as relações de Girard:

• [tex3]a+b+c=-\frac{12}{4}=-3[/tex3]
  
  [tex3]ab+ac+bc=\frac{7}{4}[/tex3]
  
  [tex3]abc=-\frac{5}{4}[/tex3]

Portanto:

• [tex3]a^3+b^3+c^3=(-3)^3-3(-3)(\frac{7}{4})+9\cdot\(-\frac{5}{4}\)=-27+\frac{63}{4}-\frac{45}{4}=\boxed{-\frac{45}{2}}[/tex3]