Ensino Superior ⇒ A série é convergente ou divergente? Tópico resolvido

[carolzinhag3]

A série é convergente ou divergente? Por que?

[tex3]\sum_{n=1}^{\infty } \ln\left(\frac{n}{n+1}\right)[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe:

Solução

Usaremos a série de comparação [tex3]\sum_{n=1}^{∞}\frac{1}{n}[/tex3], onde o termo geral [tex3]a_{n}=\frac{1}{n}[/tex3] é divergente ( série harmônica de ordem [tex3]\alpha = 1 [/tex3]). Então;

[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{ln\left(\frac{n}{n +1}\right)}{\frac{1}{n}}[/tex3] =

[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}n.ln(\frac{n}{n +1})[/tex3] =

[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}ln \left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}[/tex3]=

[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}ln\left(\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\right)^{n}[/tex3] =

[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}ln \left(
\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}\right)[/tex3] =

[tex3]ln \left( \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}\right)[/tex3] =

ln [tex3]\frac{1}{e}[/tex3]=

ln [tex3]e^{-1}[/tex3] = - 1

Logo;

[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{ln\left(\frac{n}{n +1}\right)}{\frac{1}{n}}[/tex3] = - 1 ≠ 0

Portanto, a série [tex3]\sum_{n=1}^{∞}ln\left(\frac{n}{n+1}\right)[/tex3] é divergente! c.q.p.



Bons estudos!!

[Andre13000]

Ou basta notar que

[tex3]\sum_{k=1}^n \ln {\frac{n}{n+1}}=\sum_{k=1}^n\(\ln n-\ln (n+1)\)=\ln 1-\ln (n+1)=-\ln (n+1)[/tex3]

Mas veja que não existe [tex3]c>0[/tex3] tal que [tex3]\ln x\leq c[/tex3], [tex3]x\in \mathbb R[/tex3]. Portanto a série diverge.