Ensino Médio ⇒ (Poliedro) Pontos Notáveis - Incentro Tópico resolvido

[leomaxwell]

Determine o perímetro do [tex3]\triangle\mathsf{ADE}[/tex3], no qual [tex3]\overline{AB}[/tex3] mede [tex3]\mathsf x[/tex3] e [tex3]\overline{AC}[/tex3] mede [tex3]\mathsf y[/tex3], sabendo que [tex3]\mathsf I[/tex3] é o incentro do triângulo [tex3]\mathsf{ABC} [/tex3] e [tex3]\overline{DE}//\overline{BC}[/tex3]

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Resposta

---

[tex3]\mathsf{x+y}[/tex3]

Consegui chegar em [tex3]DC=DI[/tex3] e [tex3]BE=EI[/tex3], mas não consigo sair disso
O que fiz:
Dado que [tex3]\overline{DE}//\overline{BC}[/tex3] e [tex3]\overline{CI}[/tex3] é bissetriz de [tex3]\angle ACB[/tex3], então [tex3]\angle DIC=\angle ICB=\angle DCI[/tex3]. Daí, [tex3]\triangle DCI[/tex3] é isósceles, onde [tex3]\overline{CD}=\overline{DI}[/tex3].
Analogamente, [tex3]\overline{BE}=\overline{EI}[/tex3]

Edit2: Esqueci de colocar no enunciado que DE e BC são paralelos, perdão

[cajuADMIN]

Olá leomaxwell,

Por favor, poste sua resolução até [tex3]DC=DI[/tex3] e [tex3]BE=EI[/tex3]. Eu vou continuar a partir daí:

É dado que [tex3]AB=x[/tex3] e [tex3]AC=y[/tex3]. Ou seja:

[tex3]AE+EB=x\,\,\,{\color{red}\text{(I)}}[/tex3]
[tex3]AD+DC=y\,\,\,{\color{red}\text{(II)}}[/tex3]

Como você descobriu que [tex3]EB=EI[/tex3], vamos substituir isso em (I):

[tex3]AE+EI=x\,\,\,{\color{red}\text{(III)}}[/tex3]

Você também descobriu que [tex3]DC=DI[/tex3]. Vamos substituir isso em (II):

[tex3]AD+DI=y\,\,\,{\color{red}\text{(IV)}}[/tex3]

O perímetro ([tex3]2p[/tex3]) de [tex3]ADE[/tex3] é:

[tex3]2p=AD+DE+AE[/tex3]

[tex3]2p=AD+\overbrace{DI+EI}^{=DE}+AE\,\,\,{\color{red}\text{(V)}}[/tex3]

Podemos substituir (III) e (IV) em (V):

[tex3]\boxed{\boxed{2p=y+x}}[/tex3]

Grande abraço,
Prof. Caju

[leomaxwell]

Valeu, prof. caju!
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