Pré-Vestibular ⇒ (MACK - 1980) Paridade de uma Função Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Considerando-se as afirmações abaixo, assinale a alternativa correta.

I. Toda função bijetora é uma função ímpar.
II. Toda função par é bijetora.
III. A função de [tex3]\mathbb{R}[/tex3] em [tex3]\mathbb{R},[/tex3] definida por [tex3]f(x)=ax+b,[/tex3] com [tex3]ab\neq 0,[/tex3] não é par, nem ímpar.
IV. A função de [tex3][-1;1][/tex3] em [tex3]\left[- \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right],[/tex3] definida por [tex3]f(x)= \text{arcsen}x,[/tex3] é ímpar.

a) São verdadeiras as afirmações I e II.
b) São verdadeiras as afirmações I e III.
c) São verdadeiras as afirmações II e IV.
d) São verdadeiras as afirmações III e IV.
e) São verdadeiras as afirmações I e IV.

Resposta:

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(d)

[jneto]

Boa noite,

Vejamos:

I) Falsa. Considere a função [tex3]f: (0,\infty ) \rightarrow \mathbb{R}[/tex3], dada por [tex3]f(x) = \ell n(x)[/tex3]. Se trata de uma função bijetora, mas não podemos pensar em paridade (*)

II) Falsa. Se uma função [tex3]f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/tex3] é par, isso significa que [tex3]f(x) = f(-x)\,\forall x\in \mathbb{R}[/tex3]; violando a condição de injetividade.

III) Verdadeira. Nas condições dadas, [tex3]f(x) = ax + b[/tex3] não é par e nem ímpar:

• [tex3]f(-x) = -ax+b \neq ax+b =f(x)[/tex3]

IV) Verdadeira. Como [tex3]f(x)=\text{arcsen}x[/tex3] e [tex3]g(x)=\text{sen}x[/tex3] são inversas e periódicas, têm a mesma paridade. Logo, [tex3]f[/tex3] é ímpar.

Reposta: alternativa (d)