Pré-Vestibular ⇒ (UNICAMP - 2004) Geometria Espacial: Cone

[Wesley]

O quadrilátero convexo [tex3]ABCD,[/tex3] cujos lados medem, consecutivamente, [tex3]1, 3, 4[/tex3] e [tex3]6 \text{cm},[/tex3] está inscrito em uma
circunferência de centro [tex3]O[/tex3] e raio [tex3]R.[/tex3]

a) Calcule o raio [tex3]R[/tex3] da circunferência.
b) Calcule o volume do cone reto cuja base é o círculo de raio [tex3]R[/tex3] e cuja altura mede [tex3]5 \text{cm}.[/tex3]

[edu_landim]

Se o quadrilátero é incritível seus ângulos opostos são suplementares. Assim [tex3]A\hat{B}C\,=\,\alpha[/tex3] e [tex3]A\hat{D}C\,=\,180^\circ\,-\,\alpha.[/tex3]

Considere as medidas informadas como [tex3]AB\,=\,1;\,BC\,=\,3;\,CD\,=\,4;\,DA\,=\,6,[/tex3] sem perda de generalidade.

Trace a diagonal [tex3]\overline{AC}[/tex3], a seguir basta aplicar a lei dos cossenos nos triângulos formados.

[tex3]AC^2\,=\,1^2\,+\,3^2\,-\,2\,\cdot\,3\,\cdot\,1\,cos \alpha \text{ e }AC^2\,=\,4^2\,+\,6^2\,-\,2\,\cdot\,4\,\cdot\,6\,cos (180^\circ\,-\,\alpha).[/tex3]

De onde obtemos

• [tex3]4^2\,+\,6^2\,+\,2\,\cdot\,4\,\cdot\,6\,cos \alpha\,=\,1^2\,+\,3^2\,-\,2\,\cdot\,3\,\cdot\,1\,cos \alpha[/tex3]
  
  [tex3]54 \cos \alpha\,=\,-\,42\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\cos \alpha\,=\,-\,\frac{7}{9}[/tex3]

Assim [tex3]AC^2\,=\,\frac{44}{3}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,AC\,=\,\frac{2\sqrt{33}}{3}[/tex3]

Utilizando a relação fundamental da Trigonometria chegamos em [tex3]\text{sen} \alpha\,=\,\frac{4\sqrt{2}}{9}[/tex3].

Da lei dos senos temos que [tex3]\frac{AC}{\text{sen} \alpha}\,=\,2R[/tex3]

• [tex3]R\,=\,\frac{\frac{2\sqrt{33}}{3}}{\frac{8\sqrt{2}}{9}}[/tex3]
  
  [tex3]R\,=\,\frac{2\sqrt{33}}{3}\,\cdot\,\frac{9}{8\sqrt{2}}[/tex3]
  
  [tex3]R\,=\,\frac{3\sqrt{33}}{4\sqrt{2}}[/tex3]
  
  [tex3]R\,=\,\frac{3\sqrt{66}}{8}\,\text{cm}[/tex3]

Já o volume do cone será dado por [tex3]V\,=\,\frac{1}{3}\,\cdot\,\pi\,R^2\,\cdot\,h[/tex3]

• [tex3]V\,=\,\frac{1}{3}\,\cdot\,\pi\,\cdot\,\frac{9\,\cdot\,66}{64}\,\cdot\,5[/tex3]
  
  [tex3]V\,=\,\frac{495 \pi}{32}[/tex3]