IME / ITA ⇒ (EN - 1984) Geometria Espacial: Tetraedro Regular Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Considere o tetraedro regular [tex3]ABCD[/tex3] de aresta [tex3]8 \text{cm}[/tex3] e o plano determinado pelos pontos [tex3]M,[/tex3] médio de [tex3]AB,[/tex3] [tex3]N,[/tex3] médio de [tex3]AC[/tex3] e [tex3]P,[/tex3] médio de [tex3]CD.[/tex3] A área da seção do tetraedro pelo plano considerado, é igual a:

a) [tex3]8\sqrt{3}[/tex3] [tex3]\text{cm}^2.[/tex3]
b) [tex3]8\sqrt{2}[/tex3] [tex3]\text{cm}^2.[/tex3]
c) [tex3]16[/tex3] [tex3]\text{cm}^2.[/tex3]
d) [tex3]8[/tex3] [tex3]\text{cm}^2.[/tex3]
e)[tex3]16\sqrt{3}[/tex3] [tex3]\text{cm}^2.[/tex3]

[cajuADMIN]

Olá Aldrin,

A intersecção será um quadrado. O lado do quadrado é a base média da face do tetraedro, ou seja, o lado mede [tex3]4\text{cm}[/tex3] e, portanto, a área é [tex3]16\text{cm}^2[/tex3].

Veja a figura da situação:

tetra.GIF (4.58 KiB) Exibido 3603 vezes

[ALDRINMOD]

Muito obrigado Professor, com figura ficou 100%.

[Matthew]

professor por que podemos afirmar que será um quadrado? e também não entendi aquele ponto Q ele nem aparece no enunciado.

[Matthew]

alguém pode me responder?

[cajuADMIN]

Olá Matthew,

Primeiramente, vou falar sobre o ponto Q.

O enunciado nos deu um tetraedro e um plano que corta o tetraedro. Para definir um plano, basta definirmos 3 pontos do plano. No caso, o enunciado definiu pra nós os pontos M, N e P.

tetraedro.GIF (4.58 KiB) Exibido 2425 vezes

Assim, só com essas informações, já podemos descobrir qual o comprimento dos segmentos MN e NP. Sendo M e N pontos médios de AB e AC, respectivamente, sabemos que MN será a base média do triângulo ABC em relação à base BC. Ou seja, MN vale metade de BC:

[tex3]MN=\frac{BC}{2}[/tex3]

O mesmo raciocínio pode ser feito com o segmento NP, pensando no triângulo ACD. Chegamos à conclusão que:

[tex3]NP=\frac{AD}{2}[/tex3]

E como temos, no tetraedro regular, BC=AD, podemos concluir que:

[tex3]\boxed{MN=NP}[/tex3]

Agora, temos que enxergar que um plano que corta o tetraedro não irá cortar apenas nos pontos M, N e P. Esse plano também irá cortar a aresta BD do tetraedro, e devemos encontrar esse ponto. Vamos dizer que esse é o ponto Q, mas não sabemos onde esse ponto está, mas sabemos que ele está em BD. Ele pode estar em qualquer lugar de BD.

Mas veja que, sendo as retas MN e BC paralelas, temos que os planos que passam por elas, MNP e BCD terão uma interseção que é paralela a MN e BC. Assim, PQ//BC//MN.

Sendo PQ//BC, temos que PQ é base média do triângulo BCD. Portanto

[tex3]PQ=\frac{BC}{2}[/tex3]

Ou seja, temos [tex3]\boxed{PQ=MN=NP}[/tex3]

E o mesmo raciocínio pode ser aplicado à aresta MP. Assim, concluímos que:

[tex3]\boxed{PQ=MN=NP=MP}[/tex3]

Agora, pela simetria do tetraedro, podemos concluir que as diagonais MP e NQ são iguais.

Portanto, temos um quadrilátero MNPQ, com todo lados iguais e as duas diagonais iguais! Somente o quadrado possui tais características.

Grande abraço,
Prof. Caju