Olimpíadas ⇒ Iberoamericana Teste de seleção

[Hanon]

Sejam [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] inteiros positivos tais que [tex3]a!\cdot b![/tex3] é múltiplo de [tex3]a!+b![/tex3].Prove que [tex3]3a\geq2b+2[/tex3].

[Vinisth]

Olá Hanon,

Usando a Formula de Legendre, vou tentar arrumar uma inequação ...
[tex3]e_p(n!)=\sum_{k \geq 1} \left\lfloor {\frac{n}{p^k}}\right\rfloor=\frac{n-S_p(n)}{p-1} \forall p[/tex3]
Temos a condição do enunciado [tex3]a!.b! | (a!+b!) \implies a!.b!=k(a!+b!) \iff a>2, b>1[/tex3], depois eu provo isso !
Temo relação com os poucos casos que excluirmos, pense [tex3](a,b)=(1,1) ;(1,n);(n,1);(2,1);(1,2)[/tex3]
[tex3]e_p(a)+e_p(b) \leq e_p(a+b)[/tex3]
[tex3]\left\lfloor {\frac{a}{p^k}}\right\rfloor+\left\lfloor {\frac{b}{p^k}}\right\rfloor \leq \left\lfloor {\frac{a+b}{p^k}}\right\rfloor[/tex3]
[tex3]\lfloor a \rfloor+\lfloor b \rfloor \leq \lfloor a+b \rfloor \implies a-S_p(a)+b-S_p(b) \leq a+b-S_p(a+b) \iff \boxed{S_p(a)+S_p(b) \geq S_p(a+b)}[/tex3]
Mais tarde eu posto o resto da solução, agora estou sem tempo !