Ensino Médio ⇒ Geometria Plana: Áreas e Dobraduras

[rean]

Seja o retângulo de medidas [tex3]12\text{cm}[/tex3] por [tex3]5\text{cm},[/tex3] conforme a figura abaixo, em que os segmentos [tex3]FE[/tex3] e [tex3]GH[/tex3] são resultantes de dobraduras, de forma que os cantos opostos coincidam. Determine a área formada pelos vincos da figura abaixo sombreada.

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[adrianotavares]

Observação: Quando fazemos com que os cantos opostos dos retângulos coincidam, a dobra fica perpendicular à diagonal no ponto de intersecção das diagonais.

Vamos agora à resolução:

[tex3]M:[/tex3] ponto de encontro dos vértices dos triângulos.

Como as diagonais de um retângulo se intersectam no seu ponto médio, conclui-se que se traçarmos por [tex3]M[/tex3] uma reta perpendicular ao lado [tex3]\overline{AD}[/tex3] ou perpendicular ao lado [tex3]\overline{AB}[/tex3] ela dividirá o retângulo em duas partes iguais.

Vamos chamar de [tex3]x[/tex3] o segmento [tex3]\overline{FC}[/tex3] e [tex3](12 - x)[/tex3] o segmento [tex3]\overline{DF}.[/tex3]

Quando o canto [tex3]D[/tex3] coincide com o canto [tex3]B[/tex3] será formado um triângulo retângulo de hipotenusa [tex3](12 -x),[/tex3] com catetos de lados [tex3]5[/tex3] e [tex3]x.[/tex3]

Aplicando Pitágoras nesse triângulo temos:

• [tex3]x^2 + 5^2 = (12 - x)^2[/tex3]
  [tex3]x^2 + 25 = 144 - 24x + x^2[/tex3]
  [tex3]24 x = 119[/tex3]
  [tex3]x = \frac{119}{24}\approx 4,96[/tex3]

Seja agora [tex3]N[/tex3] um ponto que divide o lado [tex3]\overline{BC}[/tex3] em duas partes iguais. Se traçarmos uma reta de [tex3]M[/tex3] até [tex3]N[/tex3] teremos um trapézio retângulo formado pelos pontos [tex3]M, N, C \text{ e } F[/tex3].

A área do trapézio é :

• [tex3]A_t = \frac{(B +b).h}{2}[/tex3]
  [tex3]A_t = \frac{(6 +4,96).2,5}{2}[/tex3]
  [tex3]A_t = 13,7 \text{cm}^2[/tex3]

A área total da parte não hachurada é:

• [tex3]13,7\cdot 4 = 54,8 \text{cm}^2[/tex3]

A área pedida é igual a área do retângulo menos a área total não hachurada.

• [tex3]60 - 54,8 = 5,2 \text{cm}^2[/tex3]

Acredito que seja essa a resposta.

[Karl Weierstrass]

Olá Adriano,

É importante mostrar porque cada uma das dobras é perpendicular a uma das diagonais do retângulo.

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Na figura acima, observe que [tex3]\bar{HC}=\bar{HA}.[/tex3] Seja [tex3]I=EF\,\cap\, GH=AC\, \cap\, BD .[/tex3] Como [tex3]AC[/tex3] é uma corda do círculo de raio [tex3]HC[/tex3] e centro em [tex3]H[/tex3] e [tex3]I[/tex3] é o ponto médio de [tex3]AC,[/tex3] pela propriedade da secante, temos que [tex3]HI\perp AC .[/tex3]

Considere agora a figura seguinte.

AB28.png (6.79 KiB) Exibido 1274 vezes

Seja [tex3]\bar{HC}=y.[/tex3] Logo, [tex3]\bar{DH}=12-y.[/tex3] Do [tex3]\triangle ADH[/tex3] obtemos:

• [tex3]y^2=5^2+(12-y)^2\Longrightarrow y=\frac{169}{24}\text{cm}.[/tex3]

Por simetria,[tex3]\bar{DH}=\bar{FC}=12-y=\frac{119}{24}\text{cm}.[/tex3] Logo, [tex3]\bar{FH}=\bar{CD}-2\cdot \bar{DH}=\frac{25}{12}\text{cm}.[/tex3]

Chamemos de [tex3]L[/tex3] o pé da altura do triângulo [tex3]HIF[/tex3] sobre [tex3]CD.[/tex3] É fácil ver que [tex3]\bar{IL}=\frac{5}{2}\text{cm}.[/tex3]

Portanto, a área pedida é dada por:

• [tex3]2\cdot [FHI]=2\cdot \frac{\bar{FH}\cdot \bar{IL}}{2}=\frac{125}{24}\text{cm}^2.[/tex3]

Nota: O Adriano optou pela forma decimal de [tex3]\frac{119}{24}.[/tex3] Como essa divisão não é exata, foi necessário fazer uma aproximação. É importante saber que esta ação tem as seguintes conseqüências:

• i) os cáculos ficam mais difíceis (é muito mais fácil multiplicar e dividir frações do que fazer o mesmo com números decimais);
  ii) se os resultados seguintes dependerem dessa aproximação, o erro (por excesso ou falta) tenderá a crescer na medida que utilizarmos essa aproximação em outros cálculos. Este fato pode resultar num resultado distante do resultado correto, caso os arredondamentos não sejam feitos apropriadamente.

• Como proceder?
  É melhor trabalhar com frações na maioria das vezes. Caso o problema seja discursivo não há dificuldade, a resposta poderá ser dada na forma fracionária (a não ser que o enunciado peça a forma decimal). No caso de um teste de múltipla escolha, caso as alternativas estejam na forma decimal, basta efetuar a divisão do numerador pelo denominador para encontrar a forma decimal. Por exemplo, no problema acima, a área procurada é [tex3]\frac{125}{24}\approx 5,21\text{cm}^2.[/tex3] Note que dessa forma seria necessária apenas uma divisão para sabermos qual das alternativas (caso houvessem) corresponderia a uma aproximação do resultado exato.

[edu_landim]

Já que Karl Weierstrass falou em simetria. Podemos mostrar por simetria que [tex3]HC\,=\,AG[/tex3] e assim teríamos [tex3]HC\,=\,AH\,=\,AG\,=\,CG\,[/tex3], ou seja,[tex3]\,AGCH[/tex3] é um losango, e uma das propriedades deste quadrilátero é possuir diagonais [tex3](\overline{HG} \textrm{ e } \overline{AC})[/tex3] perpendiculares, tendo o ponto de intersecção destas como ponto médio de ambas.

[Karl Weierstrass]

Muito bom Edu, eu não havia percebido o losango.

Obrigado.