Ensino Superior ⇒ Derivadas-Curso de análise na reta Tópico resolvido

[FelipeBaldim]

Estou estudando Derivadas, estou com dúvida nessas questões, alguém poderia me ajudar? Desde já agradeço:

Mostre que [tex3]\sen(x)\le x[/tex3] e [tex3]\cos(x)\ge 1-\frac{x^2}{2}[/tex3], para todo [tex3]x\ge 0[/tex3].

[Auto Excluído (ID:12031)]

a primeira desigualdade acredito que venha da geometria: Se [tex3]|x|<1[/tex3]
use o seguinte desenho de uma circunferência de raio unitário:

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e repare que sendo [tex3]\theta <1[/tex3] o ângulo entre [tex3]OP[/tex3] e [tex3]OQ[/tex3] temos que [tex3]\sen (\theta)[/tex3] é a altura do triângulo [tex3]OPQ[/tex3] em relaçãoao vértice [tex3]P[/tex3] que não pode ser maior que o segmento [tex3]PQ[/tex3] que por ser um segmento de reta é a curva contínua de menor distância entre [tex3]P[/tex3] e [tex3]Q[/tex3], logo é menor que o arco [tex3]\stackrel \frown{PQ} = \theta[/tex3]. De onde se [tex3]0 < \theta \leq 1 \implies \sen (\theta ) < \theta[/tex3] como se [tex3]\theta >1 > \sen (\theta)[/tex3] se [tex3]\sen (\theta ) = \theta \iff \theta =0[/tex3].
A segunda desigualdade se não me engano vêm de [tex3]\cos x = 1 - 2 \sen^2 (\frac x2)[/tex3]
junto com [tex3]\sen (\frac x2) \leq \frac x2[/tex3]