IME/ITA ⇒ (ITA - 1974) Capacitores Tópico resolvido

[joaopcarvMOD]

(ITA-1974) No circuito a seguir carrega-se o capacitor [tex3]\mathsf{C}[/tex3] com uma diferença de potencial [tex3]\mathsf{E}[/tex3], estando a chave [tex3]\mathsf{k}[/tex3] aberta. Em seguida, afasta-se a bateria e liga-se a chave [tex3]\mathsf{k}[/tex3]. Após estabelecido o equilíbrio no circuito verifica-se que [tex3]\mathsf{50\%}[/tex3] da energia armazenada inicialmente em [tex3]\mathsf{C}[/tex3] é dissipada em [tex3]\mathsf{R}[/tex3]. Conclui-se que a diferença de potencial nos terminais dos capacitores é:

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[tex3]\mathsf{a) \ \dfrac{\sqrt 3}{3} \ \cdot \ E;}[/tex3]

[tex3]\mathsf{b) \ \dfrac{E}{4};}[/tex3]

[tex3]\mathsf{c) \ 2 \cdot E ;}[/tex3]

[tex3]\mathsf{d) \ \dfrac{\sqrt 2}{2} \ \cdot \ E;}[/tex3]

[tex3]\mathsf{e) \ \dfrac{E}{2}}[/tex3]

Resposta

---

[tex3]\mathsf{Alternativa \ e),}[/tex3]

No primeiro arranjo, a fonte polariza o capacitor da esquerda? (Sabendo que um dos polos do capacitor da esquerda está ligado nessa fonte.)

[joaopcarvMOD]

Eu acabei de pensar em algo aqui... Mas não sei se isso não faz sentido teórico, preciso de uma confirmação :

Após o capacitor da direita ficar carregado, ao afastar a fonte e fechar a chave, esse capacitor "faz papel" de fonte, pois tem uma [tex3]\mathsf{DDP}[/tex3] de [tex3]\mathsf{E \ volts.}[/tex3]

Supondo que os outros elementos (o capacitor da esquerda e o resistor) estavam até agora "mortos" (o resistor com certeza estaria sim, mas o capacitor da esquerda eu fiquei em dúvida por sua ligação ao polo negativo da fonte no primeiro arranjo), eu considerei que a carga [tex3]\mathsf{Q}[/tex3] que o capacitor da direita armazenou é movimentada pela tensão deste capacitor no novo arranjo.

No novo equilíbrio, o da esquerda fica carregado com toda a carga do direito.

Se [tex3]\mathsf{50\%}[/tex3] da energia armazenada no capacitor da direita foi dissipada pelo resistor, então os outros [tex3]\mathsf{50\%}[/tex3] da energia armazenada no capacitor da direita acabam sendo transferidos para o da esquerda, ou seja :

[tex3]\mathsf{E_{(esquerda)} \ = \ \dfrac{1}{2} \ \cdot \ E_{(direita)} \ \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\dfrac{\overbrace{E'}^{tensão \ entre \ os \ capacitores} \cdot \ \cancel{Q}}{\cancel{2}} \ = \ \dfrac{E \ \cdot \ \cancel{Q}}{\cancel{2}} \ \cdot \ \dfrac{1}{2} \ \rightarrow}[/tex3]

Considerando a transferência total de carga [tex3]\mathsf{Q!}[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{E' \ = \dfrac{E}{2}}}}[/tex3]

Eu considerei que toda a carga flui para o capacitor da esquerda pela conservação de carga (ao meu ver, a dissipação ocorrida em [tex3]\mathsf{R}[/tex3] tem a ver com a perda de energia cinética, e não com a "retenção de carga" no resistor).

Como eu disse, pode ser que nada disso faça sentido e eu achei o resultado por coincidência, por isso, peço para avaliem esse desenvolvimento, até pelas minhas dúvidas teóricas!

[Andre13000]

Acredito que a existência daquele resistor serve para confundir o candidato.

No início, temos [tex3]Q=CE[/tex3], onde Q é a carga obtida pelo resistor na primeira configuração. Se você for pensar a carga se conserva. A não ser que o resistor suma com a carga, pela simetria podemos dizer que cada um dos capacitores obtém [tex3]\frac{Q}{2}[/tex3] de carga. De fato:

[tex3]Q=q+q'\\
q'=CV\\
q=CV\\
Q=2CV=2q\\
q=q'=\frac{Q}{2}[/tex3]

E aplicando a lei dos capacitores, é fácil ver que de fato a ddp nos capacitores será de E/2.

[joaopcarvMOD]

Andre13000, muito obrigado!! Eu havia proposto algo incoerente, certo? Pois tendo os dois capacitores a mesma capacitância , para entrarem em regime estacionário, eles deveriam ter a mesma caraga armazenada, e pela equação do capacitor, isso significa divisão de tensão igualitária para cada um.

Ou seja, o que eu propus não existiria ao atingir o equilíbrio... agora, com o que você responder, faz sentido também essa divisão de energia entre resistor e capacitores [tex3]\mathsf{\dfrac{E \ \cdot \ Q}{2} \ = \ \dfrac{\frac{E}{2} \ \cdot \ \frac{Q}{2}}{2} \ + \ \dfrac{\frac{E}{2} \ \cdot \ \frac{Q}{2}}{2} \ + \ W_{(resistor)} \ \therefore \ \boxed{\mathsf{W_{(resistor) \ = \ \dfrac{E \ \cdot \ Q}{4}}}}}[/tex3]

Que é metade da energia inicial. Obrigado