IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 1994) Equação Biquadrada Tópico resolvido

[alinebotelho]

A equação [tex3]x^4-8x^2+k^2-5=0,[/tex3] onde [tex3]k[/tex3] é um número inteiro, tem [tex3]4[/tex3] raízes reais. A soma dos valores absolutos de [tex3]k[/tex3] é:

a) [tex3]13[/tex3]
b) [tex3]14[/tex3]
c) [tex3]15[/tex3]
d) [tex3]16[/tex3]
e) [tex3]17[/tex3]

[italoemanuell]

Olá novamente alinebotelho,

Pensei na seguite maneira: uma condição necessária e suficiente para que a equação [tex3]x^4-8x^2+k^2-5=0[/tex3] tenha [tex3]4[/tex3] raízes reais é que após a substituição da váriavel [tex3]y=x^2[/tex3] na mesma tenhamos que o seu [tex3]\triangle \geq 0,[/tex3] ou seja, [tex3]\triangle = b^2-4ac = (-8)^2-4\cdot 1\cdot (k^2-5) \geq 0 \Rightarrow - \sqrt{21}\leq k \leq \sqrt {21}.[/tex3]
Portanto, [tex3]k[/tex3] inteiro pode ser: [tex3]{-}4,-3,-2,1,0,1,2,3[/tex3] e [tex3]4.[/tex3] A soma dos valores absolutos de [tex3]k[/tex3] será: [tex3]2\cdot 4+2\cdot 3+2\cdot 2+2\cdot 1=20.[/tex3]

Não bateu com nenhuma alternativa!Será que errei algo?

Qualquer coisa, espero ter ajudado!

[Auto Excluído (ID:276)]

Oi italo,

Você se esqueceu de multiplicar [tex3]k[/tex3] por [tex3]4.[/tex3] Ficaria [tex3]{-}4k^2 + 20 \geq 64[/tex3]

Mesmo assim o resultado continua a não bater. A soma seria de [tex3]12.[/tex3]

[Alexandre_SC]

Ele não esceceu de nada pedro, essa questão é meio estranha, mas ele fez certo.

• [tex3]64-4(k^2-5)\gt 0[/tex3]

O zero não vale, nisso ele pode ter errado, mas é só um detalhe.

• [tex3]64\gt 4(k^2-5)[/tex3]
  [tex3]16\gt k^2-5[/tex3]
  [tex3]21 \gt k^2[/tex3]

[italoemanuell]

Olá a todos!
Alexandre_SC, só não entendi uma coisa porque o zero não vale?
Ora, deve-se ter [tex3]\triangle \geq 0[/tex3] para que existam soluções reais, não é? Então porque não é válido?

[Alexandre_SC]

De fato, são quatro raízes mas duas têm o mesmo valor. Se fizeste algo de errado foi isso!

[edu_landim]

Relendo as mensagens enviadas anteriormente creio que possa postar uma solução definitiva e com argumentos abordados no ensino médio.

Considere [tex3]x^2\,=\,y,[/tex3] podemos reescrever a equação dada como [tex3]y^2\,-\,8y\,+\,k^2\,-\,5\,=\,0[/tex3]

Para que a equação na incógnita [tex3]x[/tex3] tenha quatro raízes reais, é necessário e suficiente que a equação na incógnita [tex3]y[/tex3] tenha duas raízes reais e positivas.

Para ter duas raízes reais, temos [tex3]\triangle\,\geq\,0[/tex3] o que nos fornece [tex3]k^2\,\leq\,21 \text{ }(i)[/tex3]

Para que as duas raízes sejam positivas, devemos ter a soma das raízes positiva e o produto das raízes positivo; a soma vale [tex3]8[/tex3] e o produto [tex3]k^2\,-\,5,[/tex3] logo

• [tex3]k^2\,-\,5\,>\,0\, \Rightarrow\,k^2\,>\,5 \text{ }(ii)[/tex3]

De [tex3](i)[/tex3] e [tex3](ii)[/tex3] temos [tex3]5\,<\,k^2\,\leq\,21[/tex3]

Os valores inteiros que atendem essa desigualdade são [tex3]\pm 3;\,\pm 4[/tex3]

A soma será então [tex3]|-3|\,+\,|-4|\,+\,|3|\,+\,|4|\,=\,14.[/tex3]