Pré-Vestibular ⇒ (EPUSP - 1965) Geometria Analítica: Condição de Alinhamento

[daniloesteves1]

Entre os triângulos [tex3]OAB[/tex3] com o vértice [tex3]O[/tex3] na origem e os outros dois vértices [tex3]A[/tex3] e [tex3]B,[/tex3] respectivamente, nas retas [tex3]y = 1[/tex3] e [tex3]y = 3[/tex3] e alinhados com o ponto [tex3]P (7,0),[/tex3] determinar aquele para o qual é mínima a soma dos quadrados dos lados.

Resposta

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[tex3]A (5,1)[/tex3]
[tex3]B (1,3)[/tex3]

[jneto]

Boa tarde,

Do enunciado do problema temos:

• [tex3]A = (a,1) \\
  B = (b,3)[/tex3]

E esses pontos são colineares com [tex3]P = (7,0);[/tex3] da geometria analítica do plano, sabemos que isso é equivalente ao determinante da matriz abaixo ser nulo:

• [tex3]\left( \begin{array}{ccc}
  a & 1 & 1 \\
  b & 3 & 1 \\
  7 & 0 & 1
  \end{array} \right)[/tex3]

Calculando o determinante e igualando a zero temos [tex3]b = 3a - 14.[/tex3] Vamos precisar desse vínculo; a função a ser minimizada é a seguinte:

• [tex3]f(a,b) = a^{2} + 1 + b^{2} + 9 + (a - b)^{2} + 4 = a^{2} + b^{2} + (a - b)^{2} + 14[/tex3]

Usando o vínculo de colinearidade, reduzimos a função a uma variável:

• [tex3]g(a) = f(a,3a - 14) = a^2 + 1 + (3a - 14)^2 + 9 + (a - (3a - 14))^2 + 4 = 14(a^2 - 10a + 29)=56 +14(a-5)^2[/tex3]

[tex3]g(a)[/tex3] assume seu valor mínimo quando [tex3]a-5[/tex3] é mínimo. Logo, [tex3]a=5.[/tex3]

Portanto,

• [tex3]A = (5,1) \\
  B = (1,3)[/tex3]