Olimpíadas ⇒ (Olimpíada de Campina Grande-2001) Polinômio Tópico resolvido

[Auto Excluído (ID:19677)]

Se a,b,c são números reais tais que [tex3]a+b+c=0[/tex3]. Mostre que [tex3]2(a^4+b^4+c^4)[/tex3] é um quadrado perfeito.

[Ittalo25MOD]

[tex3]2\cdot (a^4+b^4+c^4)=[/tex3]
[tex3]2\cdot (a^4+b^4+(-a-b)^4)=[/tex3]
[tex3]2\cdot (2a^4+2b^4+4a^3b+4ab^3+6a^2b^2)=[/tex3]
[tex3]4\cdot (a^4+b^4+2a^3b+2ab^3+3a^2b^2)=[/tex3]
[tex3]4\cdot (a^2\cdot (a^2+ab+b^2) +b^4+a^3b+2ab^3+2a^2b^2)=[/tex3]
[tex3]4\cdot (a^2\cdot (a^2+ab+b^2)+b^2\cdot (b^2+ab+a^2) +a^3b+ab^3+a^2b^2)=[/tex3]
[tex3]4\cdot (a^2\cdot (a^2+ab+b^2)+b^2\cdot (b^2+ab+a^2) + ab \cdot ( a^2+b^2+ab))=[/tex3]
[tex3]4\cdot ((a^2+ab+b^2)\cdot (a^2+ab+b^2))=[/tex3]
[tex3]4\cdot (a^2+ab+b^2)^2[/tex3]

[Auto Excluído (ID:19677)]

Muito obrigada! Mas tem como sair da primeira equação e chegar na segunda?

[LucasPinafiMOD]

Tem uma solução bacana
Construa um polinômio (de grau 3) com raízes a, b e c, tal que a+b+c = 0
Assim,
[tex3]x^3 + px+q = 0 [/tex3]
[tex3]\begin{cases}a^3 + pa + q = 0 \\ b^3 + pb + q = 0 \\ c^3 + pc + q = 0 \end{cases}[/tex3]
Multiplicando a primeira equação por 2a; a segundo por 2b; a teceria por 2c;
[tex3]\begin{cases}2a^4 + 2pa^2 +qa = 0 \\ 2b^4 + 2p b^2 + qb = 0 \\ 2c^4 + 2p c^2 + qc = 0 \end{cases}[/tex3]
Somando as três equações acima:
[tex3]2\cdot (a^4 + b^4 + c^4) +2p(a^2 + b^2 + c^2 ) + q (a+b+c) = 0 \\ 2 \cdot (a^4 +b^4 +c^4 ) + 2p(a^2 +b^2 +c^2 ) + 0 = 0 \\ 2\cdot (a^4 +b^4 +c^4 ) = - 2p(a^2 +b^2 + c^2 ) [/tex3] (i)
Das relações de Girard, temos que
[tex3]abc= - q \\ ab+ac+bc = p \\ (a+b+c)^2 = 0^2 = a^2 + b^2 +c^2+ 2(ab+ac+bc) \\ a^2 +b^2 +c^2 = - 2 (ab+ac+bc) = -2p [/tex3]
Portanto, colocando esse resultado em (i),
[tex3]2\cdot ( a^4 + b^4 +c^4) = -2p(-2p) = 4p^2 \Longrightarrow 2 \cdot (a^4 + b^4 +c^4) = (2p)^2[/tex3]

[Auto Excluído (ID:19677)]

LucasPinafi, muito obrigada! Mas por que não incluiu o termo do segundo grau no polinômio de grau 3?

[LucasPinafiMOD]

x³ - (a+b+c)x² + px + q = 0