Olimpíadas ⇒ (Olimpíada Cearense de Matemática-97) Polinômio Tópico resolvido

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Sejam a, b, c, números reais positivos distintos dois a dois tais que [tex3]a^2+b^2-ab=c^2[/tex3]. Prove que o produto [tex3](a−c)(b−c)[/tex3] é negativo.

[jedi]

[tex3]a^2+b^2-ab=c^2[/tex3]

[tex3]a^2-c^2=ab-b^2[/tex3]

[tex3](a+c)(a-c)=b(a-b)[/tex3]

da mesma forma

[tex3]a^2+b^2-ab=c^2[/tex3]

[tex3]b^2-c^2=ab-a^2[/tex3]

[tex3](b+c)(b-c)=a(b-a)[/tex3]

multiplicando as duas expressões

[tex3](a+c)(b+c)(a-c)(b-c)=ab(b-a)(a-b)[/tex3]

[tex3](a+c)(b+c)(a-c)(b-c)=ab(b-a)(a-b)[/tex3]

[tex3](a+c)(b+c)(a-c)(b-c)=-ab(b-a)^2[/tex3]

como a e b são positivos e (b-a)^2 também é positivo, pois esta ao quadrado, o lado direito da equação sempre terá um resultado negativo por causa do sinal de menos, portanto

[tex3](a+c)(b+c)(a-c)(b-c)<0[/tex3]

mas como a, b e c são positivos, (a+c) e (b+c) também sempre serão positivos, portanto a consequência é que

[tex3](a-c)(b-c)<0[/tex3]

[AugustoCRF]

Uma solução alternativa seria perceber que a expressão a² + b² - ab = c² satisfaz a lei dos cossenos para c = 60°
Logo a + b + c = 180°=> a + b = 120°
Como a, b e c são distintos, podemos supor que a > b ou b > a

Se a > b
a > 60 e b < 60
a > c > b => (a-c) > 0 (b-c) < 0 => (a-c)(b-c) < 0

Se b > a
b > 60 e a < 60
b > c > a => (b-c) > 0 (a-c) < 0 => (a-c)(b-c) < 0