Concursos Públicos ⇒ FCC 2016, Metrô - Multiplicação com letras Tópico resolvido

[rramenzoni]

Cada uma das letras M, E, T, R, O, S corresponde a um algarismo diferente, e nenhuma delas ao algarismo 8. Sabendo-se que M × E × T =R × O × S, então, M + E + T + R + O + S é igual a

(A) 16.
(B) 12.
(C) 22.
(D) 25.
(E) 31.

Resposta

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(D) 25.

Eu acertei mas demorei (e sem muito método)
Gostaria de saber qual a sacada / caminho lógico.

[csmarceloMOD]

Cada letra está associada a um dos seguintes algarismos: [tex3]1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9[/tex3].

O zero também foi excluído, pois, obviamente, se uma das letras tivesse o seu valor, o lado correspondente da equação seria igual a zero, o que não aconteceria do outro lado, visto que as letras representam algarismos distintos.

Pois bem, se dois números são iguais, então eles possuem a mesma representação ao serem decompostos em números primos.

[tex3]2[/tex3]
[tex3]3[/tex3]
[tex3]4=2^2[/tex3]
[tex3]5[/tex3]
[tex3]6=2\cdot3[/tex3]
[tex3]7[/tex3]
[tex3]9=3^2[/tex3]

Repare que os únicos fatores primos que podem ser usados para representar esses dois números são o 2 e o 3, visto que são os únicos que se repetem um número par de vezes e, portanto, podem ser divididos igualmente entre os lados da equação.

Temos, então, [tex3]2^2\cdot3^2[/tex3] de cada lado. Agora, basta multiplicá-los convenientemente. De um lado, temos [tex3]2\cdot6\cdot3[/tex3] e, consequentemente, do outro lado só nos resta [tex3]4\cdot9[/tex3]. Como falta um algarismo, mas os números já são iguais, esse só pode ser o número 1, elemento neutro da multiplicação.

[tex3]2+6+3+4+9+1=25[/tex3]