Ensino Médio ⇒ (Rufino Vol.0) Demonstração de Polinômio 5

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Prove que se [tex3]a+b+c=0[/tex3], então [tex3]2(a^4+b^4+c^4)=(a^2+b^2+c^2)^2[/tex3].

[LucasPinafiMOD]

Seja o polinômio com raízes a,b e c (reais): [tex3]x^3 + px + q =0[/tex3]
Temos que a+b+c = 0 (dado)
[tex3](a+b+c)^2 = 0 \therefore a^2 +b^2 + c^2 = - 2(ab+ac+bc) = - 2p[/tex3], donde vemos que p < 0 (i)
Pela soma de Newton, temos que
[tex3]S_4 + 0S_3 + p S_2 + qS_1 = 0 \Longrightarrow S_4 + 0 + p (a^2 + b^2 + c^2) + q(a+b+c) = 0 \therefore S_4 = - p(a^2+b^2 + c^2) \\ 2S_4 = -2p(a^2 + b^2 + c^2 ) [/tex3]
De (i), temos que
[tex3]2S_4 = -2p (a^2 + b^2 + c^2 )= (a^2 + b^2 + c^2 ) (a^2 + b^2 +c^2 ) = (a^2 + b^2 + c^2 ) ^2 \\ 2S_4 = (a^2 + b^2 +c^2 )^2[/tex3]
[tex3]2(a^4+ b^4 + c^4 ) = 2(a^2 + b^2 + c^2 )^2 [/tex3]
cqd.
Obs: [tex3]S_k = a^k + b^k +c^k [/tex3]