Pré-Vestibular ⇒ Udesc - Análise Combinatória Tópico resolvido

[Liss15]

As frutas são alimentos que não podem faltar na nossa alimentação, pelas suas vitaminas e pela energia que nos fornecem. Vera consultou um nutricionista que lhe sugeriu uma dieta que incluísse a ingestão de três frutas diariamente, dentre as seguintes opções: abacaxi, banana, caqui, laranja, maçã, pera e uva. Suponha que Vera siga rigorosamente a sugestão do nutricionista, ingerindo três frutas por dia, sendo pelo menos duas diferentes. Então, ela pode montar sua dieta diária, com as opções diferentes de frutas recomendadas, de:

A) 57 maneiras.
B) 50 maneiras.
C) 56 maneiras.
D) 77 maneiras.
E) 98 maneiras.

Resposta

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D

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Gente, nessa questão eu estava fazendo assim:
[tex3]C_{7}^{3}=35[/tex3]
Até aí tudo bem. Fiz a combinação para descobrir as opções de combinação de 3 frutas diferentes.
Daí, aqui que estou com muuuuuita dificuldade!
Quando diz que "ingerindo três frutas por dia, sendo pelo menos duas diferentes", eu pensei então, 2 são diferentes. Logo, 1 fruta está se repetindo. Então, [tex3]7-1=6[/tex3]
Só que para mim, eu faria uma combinação disso: [tex3]C_{6}^{2}[/tex3]
O que daria a letra B
Por favor, por favor, alguém poderia me explicar o porquê isso tá errado?? Eu não estou entendendo a lógica de dar 77!
Agradeço muitíssimo!

[Optmistic]

Olá!

Primeiro temos as combinações sem repetições ...

C 7,3 = 35

Agora tenho que encontrar as com repetição (2 frutas iguais )

é o mesmo que encontrar todas as combinações com 2 elementos, já que um será repetido ...

então agora passo a ter uma combinação de 7 elementos tomados 2 a 2 ...

C 7,2 = 21

como eu posso ter uma inversão ... ou AAB ou ABB ... eu dobro minhas combinações ...

21 . 2 = 42 maneiras com uma repetida ...

Agora basta somar ...

35 + 42 = 77

[Liss15]

Muito obrigada, Optmistic!