Pré-Vestibular ⇒ FUVEST 2010 - Análise Combinatória Tópico resolvido

[Liss15]

Maria deve criar uma senha de 4 dígitos para sua conta bancária. Nessa senha, somente os algarismos 1,2,3,4,5 podem ser usados e um mesmo algarismo pode aparecer mais de uma vez. Contudo, supersticiosa, Maria não quer que sua senha contenha o número 13, isto é, o algarismo 1 seguido imediatamente pelo algarismo 3. De quantas maneiras distintas Maria pode escolher sua senha?

A) 551
B) 552
C) 553
D) 554
E) 555

Resposta

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A

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Gente, eu estava fazendo assim essa questão:
Para as senhas com algarismos que podem aparecer mais de uma vez: [tex3]5^{4}=625[/tex3]
Para as senhas que apareçam o número 13 na senha: [tex3]5.5.3=75[/tex3]
Encontrando as maneiras que Maria quer sem o número 13: [tex3]625-75=550[/tex3]
Alguém poderia me ajudar?

[Ittalo25MOD]

O total de casos é: [tex3]5^4 [/tex3]

agora basta retirar os casos proibidos:

1313
_,13,_
13,_,_
_,_,13

1313 é proibido, ou seja: [tex3]-1 [/tex3]

Em _,13,_, os traços podem ser quaisquer números, ou seja: [tex3]5^2 [/tex3]

Em 13,_,_ os traços podem ser quaisquer números, exceto 1313, ou seja: [tex3]5^2 -1[/tex3]

Em _,_,13 os traços podem ser quaisquer números, exceto 1313, ou seja: [tex3]5^2 -1[/tex3]

Sendo assim:

[tex3]5^4 - (\boxed {5^2}+\boxed {5^2-1}+\boxed {5^2-1}\boxed {-1}) = 551 [/tex3]

[Liss15]

Mas Ittalo25, o meu jeito de fazer.. Está errado?
Aparentemente eu não considerei algo, mas não sei o que é. Pois, minha conta deu 550..

[csmarceloMOD]

Faltou desconsiderar a repetição de 1313 que existe em [tex3]5\cdot5\cdot3[/tex3].

O fator três está relacionado à posição do 13 na senha, não é? Podemos ter 13 _ _, _ 13_ ou _ _ 13.

Daí, o produto 5\cdot5 refere-se ao arranjo de todos os outros algarismos nas casas restantes, correto? Como 1 e 3 também fazem parte desses algarismos, tanto no caso 13 _ _ quanto no caso _ _ 13 há um 1313.

[Liss15]

Ahhhh, sim!
Entendi, gente!
Muito obrigada!