Pré-Vestibular ⇒ (MACK - 1981) Trigonometria: Expressões Trigonométricas

[ALDRINMOD]

A expressão [tex3]\log_\alpha\text{sen}x+\log_{\alpha^2}(1-\text{sen}^2x)[/tex3] com [tex3]0<\alpha\neq 1[/tex3] e [tex3]0<x<\frac{\pi}{2}[/tex3] pode ser escrita como:

a) [tex3]\log_\alpha\left(\frac{\text{sen}2x}{2}\right).[/tex3]
b) [tex3]\log_\alpha\left(\frac{\text{sen}x}{2}\right).[/tex3]
c) [tex3]\log_\alpha(\text{sen}x).[/tex3]
d) [tex3]\log_\alpha(\text{sen}^2x).[/tex3]
e) [tex3]\log_\alpha(\text{sen}x^2).[/tex3]

[jneto]

Boa noite,

Da identidade fundamental da trigonometria

• [tex3]\text{sen}^{2}x + \cos^{2}x = 1[/tex3]

Temos que [tex3]\cos^{2}x = 1 - \text{sen}^{2}x[/tex3]. Chamemos a função dada de [tex3]S(x),[/tex3] então:

• [tex3]S(x) = \log_{\alpha}\text{sen}x + \log_{\alpha^{2}}(1 - \text{sen}^{2}x) = \log_{\alpha}\text{sen}x + \log_{\alpha^{2}}\cos^{2}x[/tex3]

Agora precisamos das propriedades

[tex3]\log_{\alpha^{\beta}}x = \frac{1}{\beta}\log_{\alpha}x \\
\log_{\alpha}x^{\beta} = \beta \log_{\alpha}x[/tex3]

Com isso, decorre que:

• [tex3]S(x) = \log_{\alpha}\text{sen}x + \frac{1}{2}\log_{\alpha}\cos^{2}x = \\
  \log_{\alpha}\text{sen}x + \log_{\alpha}(\cos^{2}x)^{\frac{1}{2}} = \log_{\alpha}\text{sen}x + \log_{\alpha}\cos x \\
  \log_{\alpha}\text{sen}x\cos x = \log_{\alpha}\frac{2\text{sen} x\cos x}{2} = \log_{\alpha}\frac{\text{sen} 2x}{2}[/tex3]

Resposta: alternativa (a).