Concursos Públicos ⇒ (CESGRANRIO - 2008) Matemática Financeira: Juros Compostos

[jreis]

Após a data de seu vencimento, uma dívida é submetida a juros compostos com taxa mensal de [tex3]8\%.[/tex3] Além de ser acrescida de uma multa contratual correspondente a [tex3]2\%[/tex3] da dívida original. Sabendo que [tex3]\log 2 = 0,30[/tex3] e [tex3]\log3 = 0,48[/tex3] e utilizando-se para todo o período o sistema de capitalização composta, determine o tempo mínimo necessário em meses para que o valor a ser quitado seja [tex3]190\%[/tex3] maior do que a dívida original.

Olá galera. Alguém pode resolver esta questão?
Desde já agradeço.

[fabit]

Seja [tex3]C[/tex3] o capital que representa a dívida até o vencimento. Sobre ela incide uma multa de [tex3]2\%,[/tex3] ou seja, [tex3]0,02C.[/tex3] Considero que essa multa não fica agregada ao valor que será reajustado a [tex3]8\%[/tex3] ao mês.

No final, o valor a ser quitado é [tex3]190\%[/tex3] maior que [tex3]C,[/tex3] isto é, [tex3]C+1,9C=2,9C.[/tex3] Olhando esse montante mais de perto, [tex3]2,9C[/tex3] inclui o montante reajustável e a multa.

A parte reajustável é expressa por [tex3]C\times1,08^n[/tex3], onde [tex3]n[/tex3] é o número de meses procurado.

Forma-se a equação [tex3]2,9\cancel{C}=\cancel{C}\times1,08^n+0,02\cancel{C}\Rightarrow2,9-0,02=1,08^n\Rightarrow1,08^n=2,88[/tex3]

Prepare-se para fatorar [tex3]108[/tex3] e [tex3]288[/tex3] (felizmente, só aparecem os primos [tex3]2[/tex3] e [tex3]3,[/tex3] dos quais temos os logaritmos dados no enunciado):

• [tex3]n=\log_{1,08}{2,88}=\frac{\log{2,88}}{\log{1,08}}=\frac{\log{\frac{288}{100}}}{\log{\frac{108}{100}}}\Rightarrow[/tex3]
  
  [tex3]\Rightarrow n=\frac{\log{(2^5.3^2)}-2}{\log{(2^2.3^3)}-2}=\frac{5.0,30+2.0,48-2}{2.0,30+3.0,48-2}=\frac{1,50+0,96-2,00}{0,60+1,44-2,00}=\frac{0,46}{0,04}=11,5[/tex3]

Se exigirem respostas inteiras, arredonde para cima, respondendo [tex3]12[/tex3] (do contrário, a dívida ainda não atingiu [tex3]190\%[/tex3] do que era antes).