IME / ITA ⇒ (ITA - 93) Equação Recíproca

[poti]

Sabendo-se que a equação de coeficientes reais, [tex3]x^{6} - (a+b+c)x^{5} + 6x^{4} - 3(c)x^{2} + 6x - 1 = 0[/tex3] é uma equação recíproca de segunda classe, então o número de raízes reais desta equação é:

A) 0
B) 2
C) 3
D) 4
E) 6

PS: Qual a restrição para a quantidade de raízes complexas de equações recíprocas ?? Por ter o termo do meio nulo acha-se que [tex3]{-}1[/tex3] e [tex3]1[/tex3] são raízes. Por Briot-Ruffini eu posso abaixá-la para uma expressão de quarto grau com essas duas raízes, mas e depois disso ??

[MacoZampi]

substituindo x por 1
[tex3]1 -(a+b+c) +6 -3c+6-1=0[/tex3]
[tex3]a+b+4c=12[/tex3]

substituindo x por -1
[tex3]1 +(a+b+c) +6 -3c -6 -1 = 0[/tex3]
[tex3]a+b-2c=0[/tex3]

resolvendo o sistema chamos que [tex3]c=2[/tex3] e [tex3]a+b=4[/tex3], entao a equação fica

[tex3]x^{6}-6x^{5}+6x^{4}-6x^{2}+6x-1=0[/tex3]

ai usamos briot-ruffini com 1 e dps -1 e achamos a equação

[tex3]x^{4}-6x^{3}+7x^{2}-6x-1=0[/tex3]

bem, o q podemos concluir agora? nao sei heauheuaheuhauehaueh

sei que se fizermos [tex3]f(x)=x^{4}-6x^{3}+7x^{2}-6x-1[/tex3]
f(1)=-5
f(-1)=7

[tex3]f(1)*f(-1)=-25<0[/tex3], logo há um números ímpar de raizes entre 1 e -5, então há pelo menos 3 raízes reais até agora, como sabemos que o polinômio lah era do grau 6, então tem q ter 4 raízes reais, senão haveria uma raiz complexa sem conjugado

agora o X da questão, são 4 ou 6 raízes? heauheuahuehaue

well, fui iaté ai, acho q a abordagem do começo tah correta, mas dps sei lah

[FilipeCaceres]

Continuando a resolução MacoZampi

Sabe-se que a equação dada é igual:

[tex3](x-1)(x+1)(x^{4}-6x^{3}+7x^{2}-6x-1)[/tex3]

Já sabemos que 1 e -1 é raiz, para sabermos quais os demais vamos dividir por [tex3]x^{2}[/tex3] e juntando as partes

[tex3](x^{2} + \frac{1}{x^{2}}) -6(x + \frac{1}{x}) +7[/tex3]

Fazendo [tex3]x + \frac{1}{x}= y[/tex3]
temos que [tex3]x^{2} + \frac{1}{x^{2}}= y^{2}-2[/tex3]

Assim:

[tex3]y^{2}-6y+5=0[/tex3]

temos como resposta:

[tex3]y=x + \frac{1}{x}=5[/tex3]
ou

[tex3]y=x + \frac{1}{x}=1[/tex3]

Resolvendo as 2 equaçoes do segundo grau

Teremos como resposta:

[tex3]1,-1;\frac{1+i\sqrt{3}}{2};\frac{1-i\sqrt{3}}{2};\frac{5+\sqrt{21}}{2};\frac{5-\sqrt{21}}{2}[/tex3]


O número de raízes reais é 4. [tex3]Letra d[/tex3]

São quatro resposta, errei ao transcrever as raizes.

Mas agora já esta concertado

Espero que tenha ajudado.

[Balanar]

A resposta e letra "d", tipo no mercado livre você compra um cd que tem várias provas do ITA resolvidas essa prova de 1993 tem lá.
Flw.

[poti]

Bem trabalhoso. Obrigado.

[DeyvisonML]

Olá, acredito que:
1º)
[tex3]\left(x-\frac{1}{x}\right)[/tex3]= t [tex3]\rightarrow [/tex3] [tex3]\left(x-\frac{1}{x}\right)^{2} = t^{2}[/tex3] [tex3]\rightarrow [/tex3] [tex3]x^{2}[/tex3]- 2 + [tex3]\frac{1}{x^{2}} = t^{2}[/tex3] [tex3]\rightarrow [/tex3] [tex3]x^{2} + \frac{1}{x^{2}}[/tex3] = [tex3]t^{2}[/tex3] + 2

2º)
[tex3]t^{2}[/tex3] - 6t + 8 = 0 [tex3]\rightarrow [/tex3] [tex3]\begin{cases}
t' = 4 \\
t'' = 2
\end{cases}[/tex3]

3º)
Considerando a equação:
x - [tex3]\frac{1}{x}[/tex3] = t, para t = 4 ou t = 2, temos

I) [tex3]x^{2}[/tex3] + 4x - 1 = 0 [tex3]\begin{cases}
x' = 2 + \sqrt{3} \\
x'' = 2 - \sqrt{3}
\end{cases}[/tex3]
I) [tex3]x^{2}[/tex3] + 2x - 1 = 0 [tex3]\begin{cases}
x' = 1 + \sqrt{2} \\
x'' = 1 - \sqrt{2}
\end{cases}[/tex3]

Logo, existem 4 raízes cujo conjunto é: C = {2 - [tex3]\sqrt{3}[/tex3], 1 - [tex3]\sqrt{2}[/tex3], 1 + [tex3]\sqrt{2}[/tex3], 2 + [tex3]\sqrt{3}[/tex3]}.