IME / ITA ⇒ (IME - 1971) Trigonometria: Lei dos Senos Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Um quadro retangular de [tex3]17(\sqrt{6}-\sqrt{2})[/tex3] metros de altura, com sua borda inferior apoiada em uma parede vertical, faz com a mesma um ângulo [tex3]\alpha .[/tex3] Um observador, a [tex3]34\sqrt{2}[/tex3] metros de distância da parede, vê o quadro segundo um ângulo de [tex3]15^\circ.[/tex3] A borda inferior do quadro e os olhos do observador estão em um mesmo plano horizontal. Calcule o ângulo [tex3]\alpha .[/tex3]

a) [tex3]15^\circ.[/tex3]
b) [tex3]30^\circ.[/tex3]
c) [tex3]45^\circ.[/tex3]
d) [tex3]60^\circ.[/tex3]
e) [tex3]75^\circ.[/tex3]
f) [tex3]\text{n.r.a.}[/tex3]

[fabit]

Faça um sistema cartesiano onde o eixo dos [tex3]y[/tex3] representa a parede e o dos [tex3]x[/tex3] representa o plano que pega a base do quadro e os olhos do observador. O quadro é um segmento de reta que sai da origem, forma ângulo [tex3]\alpha[/tex3] com a parede, portanto um ângulo [tex3]90^\circ-\alpha[/tex3] com o eixo dos [tex3]x,[/tex3] e tem comprimento [tex3]17(\sqrt{6}-\sqrt{2}).[/tex3]

Cabe lembrar que essa diferença [tex3]\sqrt{6}-\sqrt{2}[/tex3] aparece na expressão do seno de [tex3]15[/tex3] graus, via [tex3]\sin(45^\circ - 30^\circ)=\sin 45^\circ \cos30^\circ-\sin 30^\circ \cos 45^\circ .[/tex3]

O observador está no ponto que teria coordenadas [tex3]A=(34\sqrt{2},0),[/tex3] isto é, [tex3]34\sqrt{2}[/tex3] unidades à direita da origem. Ao fechar o tirângulo [tex3]OAB,[/tex3] onde [tex3]O[/tex3] é a origem e [tex3]B[/tex3] é a base superior do quadro, temos [tex3]O\hat{A}B=15^\circ[/tex3] e, após contas, [tex3]O\hat{B}A=\alpha+75^\circ[/tex3]

Tá na hora da Lei dos Senos: [tex3]\frac{\overline{OA}}{\sin{(O\hat{B}A)}}=\frac{\overline{OB}}{\sin{(O\hat{A}B)}}\Rightarrow\frac{34\sqrt{2}}{\sin{(\alpha+75^\circ)}}=\frac{17(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{\sin{(15^\circ)}}[/tex3]

Multiplicando em cruz e sabendo que [tex3]\sin{(15^\circ)}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}[/tex3], temos [tex3]17\cancel{(\sqrt{6}-\sqrt{2})}\sin{(\alpha+75^\circ)}=34\sqrt{2}\times\frac{\cancel{\sqrt{6}-\sqrt{2}}}{4}\Rightarrow\sin{(\alpha+75^\circ)}=\frac{34\sqrt{2}}{4\times17}=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]

Conclui-se que [tex3]\alpha+75^\circ=135^\circ[/tex3] [tex3](45[/tex3] não podia ser porque alpha é positivo)

Logo [tex3]\alpha=60^\circ .[/tex3]

Desculpe não saber fazer a figura, por isso o esforço em descrever através de um sistema cartesiano.

[ALDRINMOD]

Valeu fabit, obrigado.