Pré-Vestibular ⇒ (MACK - 1996) Domínio de uma Função Irracional

[Tigico]

A soma dos valores inteiros pertencentes ao domínio da função real definida por [tex3]f(x)=\frac{2x}{\sqrt{2-\sqrt{x^2-3x}}}[/tex3] é:

a) [tex3]1[/tex3]
b) [tex3]2[/tex3]
c) [tex3]3[/tex3]
d) [tex3]{-}1[/tex3]
e) [tex3]{-}2[/tex3]

[Natan]

Oi, teria facilitado bem mais se você tivesse postado a resposta hein?, mesmo assim eu tentei fazer!

Inicialmente vamos analisar onde estão as restrições: a primeira está aqui [tex3]\sqrt{x^{2}-3x}[/tex3] que por ser uma raiz de índice par deve ter como resultado um número maior ou igual a zero, já que o domínio da função é real, assim:

• [tex3]x^2-3x \geq 0[/tex3]

Achando as raízes e analisando a variação do sinal encontramos [tex3]]0, 3][/tex3] (I)

A outra restrição está em [tex3]\sqrt{2-{\sqrt{x^{2}-3x}}}[/tex3] cujo radicando da raiz mais externa deve ser maior do que zero, mas não igual, pois o denominador da fração não pode se anular, uma vez que a divisão por zero é impossível ou indeterminada, assim:

• [tex3]2-\sqrt{x^{2}-3x} \gt 0[/tex3]

Novamente achando as raízes e estudando o sinal vem [tex3]]-1, 4[[/tex3] (II)

O domínio da função virá da intersecção de (I) com (II), de onde finalmente encontraremos [tex3]D=]-1, 0] \cup [3, 4[.[/tex3]

Agora para ver quais são os valores inteiros pertencentes ao domínio basta olhar atentamente para cada um dos dois intervalos observando sempre quais estão abertos e fechados de onde tiramos o conjunto [tex3]\{0, 3\}[/tex3] cuja soma de seus elementos é [tex3]3,[/tex3] letra (c). Acho que é isso, qualquer coisa avise!

Té mais!

[Karl Weierstrass]

Olá Natan,

Você chegou muito perto.

De [tex3]\sqrt{x^2-3x}[/tex3] vem [tex3]x^2-3x\geq 0,[/tex3] cuja solução é [tex3]x\leq 0[/tex3] ou [tex3]x\geq 3.[/tex3]

De [tex3]\sqrt{2-\sqrt{x^2-3x}}[/tex3] vem [tex3]2-\sqrt{x^2-3x}>0,[/tex3] cuja solução é [tex3]]-1, 0] \cup [3,4[.[/tex3]

A interseção destas condições fornece [tex3]D= ]-1, 0] \cup [3,4[.[/tex3]

Portanto, apenas os inteiros [tex3]0[/tex3] e [tex3]3[/tex3] pertencem ao domínio de [tex3]f.[/tex3]