Pré-Vestibular ⇒ (MACK - 1996) Geometria Plana: Área de um Triângulo

[rapduck]

Na figura abaixo, o perímetro do triângulo eqüilátero [tex3]ABC[/tex3] é [tex3]12[/tex3] e o ponto [tex3]P[/tex3] é médio do lado [tex3]BC.[/tex3] Então a área do triângulo [tex3]AED[/tex3] é:

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  AB96.png (6.01 KiB) Exibido 1095 vezes

a) [tex3]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]
b) [tex3]\sqrt{3}[/tex3]
c) [tex3]4[/tex3]
d) [tex3]2[/tex3]
e) [tex3]\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex3]

[Thadeu]

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  tr.jpg (16.56 KiB) Exibido 1063 vezes

Traçando o segmento [tex3]PM,[/tex3] paralelo ao lado [tex3]AB[/tex3] do triângulo, teremos:

O triângulo [tex3]PMC[/tex3] equilátero de lado [tex3]2,[/tex3] logo [tex3]PM=2[/tex3]
Como [tex3]PM[/tex3] é paralelo a [tex3]BD,[/tex3] os ângulos [tex3]M\widehat{P}E=A\widehat{D}E \text{ e } P\widehat{M}E=E\widehat{A}D[/tex3] (alternos internos)

Observe que os triângulos [tex3]PME[/tex3] e [tex3]ADE[/tex3] são semelhantes (ALA), logo os lados [tex3]ME[/tex3] e [tex3]EA[/tex3] são iguais; como [tex3]MA=2,[/tex3] podemos dizer que [tex3]ME=EA=1.[/tex3]

No triângulo [tex3]ADE,[/tex3] o ângulo [tex3]E\widehat{A}D[/tex3] é complementar de [tex3]60^\circ,[/tex3] logo vale [tex3]120^\circ[/tex3] e [tex3]\text{sen}120^\circ=\text{sen}60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]

A área do triângulo [tex3]ADE[/tex3] pode ser encontrada por:

• [tex3]S=\frac{AE\cdot AD\cdot \text{sen}120^\circ}{2} \Rightarrow S=\frac{2\cdot 1\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} \Rightarrow S=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]

[paulo testoniMOD]

Hola.

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  AC05.png (5.22 KiB) Exibido 1013 vezes

Trace por [tex3]P[/tex3] uma reta paralela ao lado [tex3]\overline{AB}[/tex3] até encontrar o lado [tex3]\overline {AC}[/tex3] em [tex3]F.[/tex3] Una esse ponto ao ponto [tex3]D[/tex3]. Veja que você formou o triângulo isósceles [tex3]AFD,[/tex3] pois o ângulo [tex3]\hat{A}[/tex3] mede [tex3]120^\circ[/tex3] por ser o ângulo adjacente ao ângulo interno do vértice [tex3]A[/tex3] do triângulo eqüilátero [tex3]ABC.[/tex3] (Sabe-se da geometria plana que nesse tipo de triângulo todos os ângulo medem [tex3]60^\circ[/tex3]). Portanto no triângulo [tex3]AFD[/tex3] o ponto [tex3]E[/tex3] é o ponto médio do lado [tex3]\overline{AF}[/tex3] e mede [tex3]1[/tex3].
Aplicando a fórmula da área no triângulo [tex3]AED[/tex3], temos:

• [tex3]S=\frac{1}{2}\cdot\overline{AE}\cdot\overline{AD}\cdot\text{sen}\hat{A},[/tex3]

lembre-se de que: [tex3]\text{sen}120^\circ=\text{sen}60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3], então:

• [tex3]S=\frac{1}{2}\cdot1\cdot2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]
  [tex3]S=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]

[paulo testoniMOD]

Hola.

Outra solução.

Fazendo:

• [tex3]\overline{EA} = x[/tex3]
  [tex3]\overline{EC} = (4 - x)[/tex3]
  [tex3]\overline{AD} = 2[/tex3]
  [tex3]\overline{BD} = 6[/tex3]
  [tex3]\overline{PC} = 2[/tex3]
  [tex3]\overline{PB} = 2[/tex3]

Pelo Teorema de Menelaus podemos escrever:

• [tex3]\frac{\overline{EC}}{\overline{EA}}\cdot\frac{\overline{PC}}{\overline{PB}}\cdot\frac{\overline{AD}}{\overline{BD}}= 1[/tex3]
  [tex3]\frac{(4 - x)}{x}\cdot\frac{2}{2}\cdot\frac{2}{6} = 1[/tex3]
  [tex3]\frac{(4 - x)}{x}\cdot\frac{1}{1}\cdot\frac{1}{3} = 1[/tex3]
  [tex3]\frac{(4 - x)}{3x} = 1[/tex3]
  [tex3]4 - x = 3x[/tex3]
  [tex3]4 = 4x[/tex3]
  [tex3]x = \frac{4}{4}[/tex3]
  [tex3]x = 1[/tex3]

Agora aplica-se a fórmula:

[tex3]S = \frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot\text{sen}\hat{A}[/tex3] no triângulo [tex3]EAD[/tex3] e encontramos:

• [tex3]S=\frac{1}{2}\cdot1\cdot2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]
  [tex3]S= \frac{\sqrt3}{2}[/tex3]