Ensino Médio ⇒ Trigonometria: Arco Metade Tópico resolvido

[Natan]

Qual o valor de [tex3]\text{sen} \frac{\pi}{12}[/tex3]?

[Doug]

Opa, acho que seria assim,

• [tex3]\sen \frac{180^\circ}{12}=\sen 15^\circ[/tex3]

Como [tex3]15^\circ = 45^\circ-30^\circ[/tex3] podemos fazer,

• [tex3]\sen (45^\circ - 30^\circ)=\sen 45^\circ \cdot \cos 30^\circ-\sen 30^\circ\cdot \cos45^\circ\\
  \sen (15^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\\
  \sen (15^\circ)=\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}= \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}[/tex3]

Abraço e t+

[Natan]

Pois é Doug, eu fiz e também achei a mesma coisa, porém no livro de onde tirei a questão a resposta é [tex3]\frac{\sqrt{2{-\sqrt3}}}{2}.[/tex3]

Como pode?

[Karl Weierstrass]

• [tex3]\text{sen}\frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}[/tex3]

• [tex3]\text{sen}15^\circ =\sqrt{\frac{1-\cos 30^\circ}{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}\cdot \left(1 -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) }=\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}[/tex3]

Radical Duplo

• [tex3]\sqrt{a\pm\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+b}{2}}\pm \sqrt{\frac{a-b}{2}},[/tex3] com [tex3]c=\sqrt{a^2-b}.[/tex3]

• [tex3]c=\sqrt{2^2-3}=\sqrt{1}=1[/tex3]

• [tex3]\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{2+1}{2}}- \sqrt{\frac{2-1}{2}}=\sqrt{\frac{3}{2}}- \sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}[/tex3]

• [tex3]\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}.[/tex3]