Ensino Médio ⇒ Logaritmo - (Iezzi-369) Tópico resolvido

[Oziel]

Determine o valor de t para que a equação [tex3]4^{x}[/tex3]-([tex3]log_{e}^{t}[/tex3]+3)[tex3]2^{x} - log_{e}^{t}[/tex3]=0 admita duas raízes reais e distintas.

Resposta

---

0<t<[tex3]e^{-9}[/tex3] ou t > [tex3]\frac{1}{e}[/tex3]

[fortran]

Quando a base do logaritmo é [tex3]e[/tex3], geralmente escrevemos [tex3]\log_{e}{a}=\ln{a}[/tex3]. Assim, você tem a equação:

[tex3]\Rightarrow 4^{x}-[\ln{(t)}+3]\cdot 2^{x}-\ln{(t)}=0[/tex3]

Que pode ser escrita como:

[tex3]\Rightarrow (2^{x})^{2}-[\ln{(t)}+3]\cdot 2^{x}-\ln{(t)}=0[/tex3]

Chamando [tex3]2^{x}=u[/tex3], temos a equação de segundo grau:

[tex3]\Rightarrow u^{2}-[\ln{(t)}+3]\cdot u-\ln{(t)}=0[/tex3]

Que para possuir duas raízes reais e distintas, temos que ter [tex3]\Delta >0[/tex3]. Assim;

[tex3]\Rightarrow \Delta=[\ln{(t)}+3]^{2}+4\ln{(t)}>0[/tex3]
[tex3]\Leftrightarrow [\ln{(t)}]^{2}+10\ln{(t)}+9>0[/tex3]

Agora, chamando [tex3]\ln{(t)}=v[/tex3], temos uma inequação de segundo grau:

[tex3]\Rightarrow v^{2}+10v+9>0[/tex3]

A expressão [tex3]v^{2}+10v+9=0[/tex3], tem como raízes [tex3]v_{1}=-1[/tex3] e [tex3]v_{2}=-9[/tex3], que voltando para a variável [tex3]t[/tex3] temos [tex3]t_{1}=e^{-1}[/tex3] e [tex3]t_{2}=e^{-9}[/tex3]. E fazendo o estudo do sinal da função, sabemos que ela será positiva se [tex3]t > e^{-1}[/tex3] e se [tex3]t < e^{-9}[/tex3]. Como [tex3]t[/tex3] é um logaritmando, devemos impor também que [tex3]t>0[/tex3], daí vem que a solução é:

[tex3]\Rightarrow 0 < t < e^{-9}[/tex3] ou [tex3]t > e^{-1}[/tex3].