Pré-Vestibular ⇒ (UFPI) - Trigonometria Tópico resolvido

[ARTHUR36]

Se [tex3]0<\theta <\frac{\pi }{4}[/tex3] e [tex3]sen(\frac{\pi }{4}+\theta )=\frac{\sqrt{14}}{4}[/tex3] , então cos [tex3]2\theta [/tex3] vale:

Resposta

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[tex3]\frac{\sqrt{7}}{4}[/tex3]

[MatheusBorgesMOD]

Por conveniência de digitação, façamos:
[tex3]\sen\theta =a\\
\cos \theta =b\\
a^{2}+b^{2}=1\\
\sen\left(\frac{\pi}{4}+\theta \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.(a+b)=\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{7}}{2}\\
a+b=\frac{\sqrt{7}}{2}\\
0<\theta <\frac{\pi }{4}\\
0<2\theta <\frac{\pi }{2}(I)[/tex3]
Logo o cosseno e o seno são positivos.
[tex3](a+b)^{2}-2ab=1=\frac{7}{4}\rightarrow a.b=\frac{3}{8}\rightarrow b^{2}+\left(\frac{3}{8b}\right)^{2}=1\\
b=\frac{\sqrt{7}-1}{4}\cup b=\frac{\sqrt{7+1}}{4}\\
\cos2\theta =1-(2\cos \theta) ^{2}=1-2b^{2}=\frac{\pm \sqrt{7}}{4}[/tex3]
Verificando a condição de existência de (I), chegamos ao gabarito.