Ensino Fundamental ⇒ Soma dos inversos=inverso da soma? Tópico resolvido

[AnthonyC]

Me fiz essa pergunta e tentei responde-lá, gostaria que analizassem se meu raciocínio está correto. Se estiver errado, gostaria que me apresentassem um raciocínio correto.
Seja:
[tex3]\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2}[/tex3]+...+[tex3]\frac{1}{a_n} = \frac{1}{a_1+a_2+...+a_n}[/tex3],[tex3]n\in \mathbb{N*}[/tex3] e [tex3]a_1+a_2+...+a_n=S[/tex3].
[tex3]\frac{S}{a_1} + \frac{S}{a_2}[/tex3]+...+[tex3]\frac{S}{a_n} = 1[/tex3](1)
Assim, temos:
[tex3]\frac{S}{a_1} = \frac{a_1+a_2+...+a_n}{a_1}[/tex3]
[tex3]\frac{a_1}{a_1} + \frac{a_2+...+a_n}{a_1}[/tex3]
[tex3]1+ \frac{a_2+...+a_n}{a_1}[/tex3]
analogamente:
[tex3]\frac{S}{a_2}= 1+\frac{a_1+...+a_n}{a_2}[/tex3]
...
[tex3]\frac{S}{a_n}= 1+\frac{a_1+...+a_{n-1}}{a_n}[/tex3]
Substituindo em (1):
[tex3]1+\frac{a_2+...+a_n}{a_1}+ 1+\frac{a_1+...+a_n}{a_2}+...+ 1+\frac{a_1+...+a_{n-1}}{a_n}=1[/tex3]
[tex3]n+\left(\frac{a_2}{a_1}+...+\frac{a_n}{a_1}\right)+ \left(\frac{a_1}{a_2}+...+\frac{a_n}{a_2}\right)+...+ \left(\frac{a_1}{a_n}+...+\frac{a_{n-1}}{a_n}\right)=1[/tex3]
[tex3]n+\left(\frac{a_1}{a_2}+...+\frac{a_1}{a_n}\right)+ \left(\frac{a_2}{a_1}+...+\frac{a_2}{a_n}\right)+...+ \left(\frac{a_n}{a_1}+...+\frac{a_n}{a_{n-1}}\right)=1[/tex3]
[tex3]n+a_1\left(\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}\right)+ a_2\left(\frac{1}{a_1}+...+\frac{1}{a_n}\right)+...+ a_n\left(\frac{1}{a_1}+...+\frac{1}{a_{n-1}}\right)=1[/tex3]
[tex3]n+a_1\left(\frac{1}{S}-\frac{1}{a_1}\right)+ a_2\left(\frac{1}{S}-\frac{1}{a_2}\right)+...+ a_n\left(\frac{1}{S}-\frac{1}{a_n}\right)=1[/tex3]
[tex3]n+a_1\left(\frac{a_1-S}{a_1*S}\right)+ a_2\left(\frac{a_2-S}{a_2*S}\right)+...+ a_n\left(\frac{a_n-S}{a_n*S}\right)=1[/tex3]
[tex3]n+\frac{1}{a_1}\left(\frac{a_1^{2}-a_1*S}{S}\right)+ \frac{1}{a_2}\left(\frac{a_2^{2}-a_2*S}{S}\right)+...+ \frac{1}{a_n}\left(\frac{a_n^{2}-a_n*S}{S}\right)=1[/tex3] (2)
Também podemos considerar:
[tex3]\frac{S}{a_1} = \frac{a_1+a_2+...+a_n}{a_1}[/tex3]
[tex3]\frac{a_1}{a_1}+\frac{a_2+...+a_n}{a_1}[/tex3]
[tex3]1+\left(S-a_1\right)\frac{1}{a_1}[/tex3]
analogamente:
[tex3]\frac{S}{a_2}= 1+\left(S-a_2\right)\frac{1}{a_2}[/tex3]
...
[tex3]\frac{S}{a_n}= 1+\left(S-a_n\right)\frac{1}{a_n}[/tex3]
Substituindo em (1)
[tex3]1+\left(S-a_1\right)\frac{1}{a_1}+ 1+\left(S-a_2\right)\frac{1}{a_2}+...+ 1+\left(S-a_n\right)\frac{1}{a_n}=1[/tex3]
[tex3]n+\left(S-a_1\right)\frac{1}{a_1}+ \left(S-a_2\right)\frac{1}{a_2}+...+ \left(S-a_n\right)\frac{1}{a_n}=1[/tex3] (3)
Igualando (2) e (3), temos:
[tex3]n+\frac{1}{a_1}\left(\frac{a_1^{2}-a_1*S}{a_1*S}\right)+ \frac{1}{a_2}\left(\frac{a_2^{2}-a_2*S}{a_2*S}\right)+...+ \frac{1}{a_n}\left(\frac{a_n^{2}-a_n*S}{a_n*S}\right)= n+\left(S-a_1\right)\frac{1}{a_1}+ \left(S-a_2\right)\frac{1}{a_2}+...+ \left(S-a_n\right)\frac{1}{a_n}[/tex3]
Comparando os coeficientes de (2) e (3), temos:
[tex3]\frac{a_1^{2}-a_1*S}{S}= S-a_1[/tex3]
[tex3]a_1*\frac{a_1-S}{S}= S-a_1[/tex3]
[tex3]\frac{a_1}{S}= \frac{S-a_1}{a_1-S}[/tex3]
[tex3]\frac{a_1}{S}= -1[/tex3]
[tex3]a_1= -S[/tex3]
analogamente:
[tex3]a_2= -S[/tex3]
...
[tex3]a_n= -S[/tex3]
Substituindo na equação original:
[tex3]-\frac{1}{S} -\frac{1}{S}-... -\frac{1}{S}=\frac{1}{S}[/tex3]
[tex3]n\left(-\frac{1}{S}\right)= \frac{1}{S}[/tex3]
[tex3]n= -1[/tex3]
Porém, como [tex3]n\in \mathbb{N*}[/tex3], [tex3]n[/tex3] não pode ser igual a [tex3]-1[/tex3]. Como chegamos a um absurdo (supondo que todo o resto esteja certo, a equação [tex3]\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2}[/tex3]+...+[tex3]\frac{1}{a_n} = \frac{1}{a_1+a_2+...+a_n}[/tex3] não possui solução, ou seja, não existe números tal que o inverso de sua soma seja igual a soma de seus inversos.

[jedi]

Bom tarde amigo

O problema esta no momento em que você compara os coeficientes das equações, eles não precisam ser necessariamente iguais para que a equação seja verdadeira

por exemplo

[tex3]2x+3y+4z=2a+3b+4c[/tex3]

então podemos até dizer que a equação é satisfeita se:

[tex3]x=a\\y=b\\z=c[/tex3]

porém essa é apena uma das soluções que equação pode ter
podemos ter por exemplo

[tex3]x=1\\y=2\\z=3[/tex3]

mas

[tex3]a=8\\b=3\\c=2[/tex3]

ou seja

[tex3]x\neq a\\y\neq b\\z\neq c[/tex3]

portanto na sua solução aquela comparação de coeficientes não é necessariamente verdadeira, os coeficientes podem ser diferentes