Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST - 1999) Geometria Plana no Triângulo Retângulo

[Brunojasp]

Num triângulo retângulo [tex3]ABC[/tex3], seja [tex3]D[/tex3] um ponto da hipotenusa [tex3]\overline{AC}[/tex3], tal que [tex3]D\hat{A}B[/tex3] e [tex3]A\hat{B}D[/tex3] tenham a mesma medida. Então, o valor de [tex3]\frac{AD}{DC}[/tex3] é?

a) [tex3]\sqrt2[/tex3].
b) [tex3]1/\sqrt2[/tex3].
c) [tex3]2[/tex3].
d) [tex3]1/2[/tex3].
e) [tex3]1[/tex3].

[roberto]

tri.png (7.28 KiB) Exibido 9352 vezes

Repare na figura que o ângulo B vale 90º e foi dividido em "x+y".
Como A+B+C=180º , e B=90º , então A+C=90º
Como A vale x, então C vale y.
Com isso o triâng. retâng. ficou dividido em dois triângs. isósceles.
Logo: AD=DC e a razão vale 1

[Brunojasp]

Olá! Como eu posso comprovar por meio de cálculos que os dois triângulos são iguais?

[lorramfla]

Todo triângulo têm a soma de seus ângulos internos 180º.
Entâo o triângulo ABC têm como soma de seus ângulos 180º.
Triângulo isóceles são triângulos que possuem dois lados iguais.
Em qualquer triângulo isósceles, os ângulos da base possuem a mesma medida, isto é, são congruentes.

Baseado no esquema montado pelo amigo acima, e com informações dadas pela questão vou tentar lhe explicar.

Na questão diz que DÂB e A^BD têm a mesma medida, nisso foi representado que:

DÂB = x
AB^D = x

Já achamos um triângulo isóceles ABD.
No triângulo ABC têm o angulo B^ medido em 90º, pois é um ângulo reto.

Como o lado [tex3]\overline{DB}[/tex3] dividiu o ângulo B^ em dois ângulos diferentes, e já sabemos que AB^D = x
então a outra parte
DB^O = y (valor imaginário)

Agora basta analisar um pouco:

x + y = 90º

Já sabemos que BÂD = x então quanto falta pro triângulo ABC forma 180º ?

x + (x+y) + C^ = 180º
x + 90º + C^ = 180º
x + C^ = 180º - 90º
x + C^ = 90º

conclusão, qual angulo que somado com "x" tem como resultado 90º ?
basta ver acima que x + y = 90º
então

C^ = y

Oras, se os triângulos são isósciles comprovado no esquema acima, então os lados diferente da base terão a mesma medida

então podemos dizer que:

[tex3]\overline{DA}[/tex3] = a (valor imaginário)

então

[tex3]\overline{DB}[/tex3] = a (também, pois são isóceles)

repare que [tex3]\overline{DB}[/tex3] também e lado do outro triângulo isóceles, portanto:

[tex3]\overline{DC}[/tex3] = a

A questão pede [tex3]\frac{\overline{AD}}{DC}[/tex3] , então:

[tex3]\frac{\overline{AD}}{DC}[/tex3] = a/a = 1

entendido !?

[Brunojasp]

Aaaah entendi!! Haha. muito obrigado pela força!

[ALDRINMOD]

Brunojasp,

por favor, lembre-se que as alternativas também fazem parte da questão, portanto, não esqueça de digitá-las.

[Igor1234]

Nossa ,essa questão requer muito raciocino rápido ,nunca que eu faria um exercício desse se caísse pra eu fazer