Ensino Médio ⇒ (FME) Geometria Analítica-Problemas de Circunferência Tópico resolvido

[MatheusBorgesMOD]

323. Obtenha a equação de uma reta que contenha P(2,1) e determine na circunferência [tex3](\lambda )(x-4)^{2}+(y+3)^{2}=9[/tex3] uma corda de comprimento [tex3]l=2.\sqrt{5}[/tex3]

Resposta

---

3x+4y-10=0\cup x-2=0

Galera não estou conseguindo achar esta equação:
x-2=0
Até entendo o porquê (joga x=2 na equ. da circunferência e depois calcula a distância entre dois pontos.), mas somente partindo do gabarito ou seja não estou "entendo" de fato o raciocínio por trás dessa equação.
Muito Obrigado.

[jvmago]

Determimemos a equação do feixe de retas que passam por (2,1)

Y-1=m(x-2)
e: mx-y-2m+1=0
O raio da circunferência é 3 e a metade do comprimento da corda é [tex3]\sqrt{5}[/tex3]

Basta agora determinar a distância do Centro C(4,-3) da circunferência até a reta r donde tiramos:
[tex3]d_{c,r}=|\frac{4m+3-2m+1}{\sqrt{m²+1}}|[/tex3]

Agora acabou aplique Pitágoras no triângulo de catetos;[tex3]d_{c,r} [/tex3], [tex3]\sqrt{5}[/tex3] e hipotenusa 3

[MatheusBorgesMOD]

jvmago, eu fiz isso, até mesmo antes de postar e o problema não acaba. Provavelmente você nem reparou nisso quando passou por essa no livro.

[MatheusBorgesMOD]

Tem alguma sacada legal por trás disso.

[cajuADMIN]

Olá MafIl10,

Continuando os cálculos do jvmago:

Pitágoras: [tex3]3^2=(\sqrt{5})^2+(d_{c,r})^2\,\,\,\rightarrow\,\,\,\boxed{d_{c,r}=2}[/tex3]

[tex3]d_{c,r}=\left|\frac{4m+3-2m+1}{\sqrt{m^2+1}}\right|[/tex3]

[tex3]2=\frac{4m+3-2m+1}{\sqrt{m^2+1}}[/tex3]

[tex3]2\cdot(\sqrt{m²+1})=2m+4[/tex3]

Elevando ao quadrado ambos os lados:

[tex3]4m^2+4=4m^2+16m+16[/tex3]

[tex3]16m=-12\,\,\,\to\,\,\,\boxed{m=-\frac{3}{4}}[/tex3]

Portanto, uma reta que satisfaz o enunciado é:

[tex3]mx-y-2m+1=0\,\,\,\to\,\,\,-\frac{3}{4}x-y-2\cdot\(-\frac{3}{4}\)+1=0\,\,\,\to\,\,\,\boxed{\boxed{-4y-3x+10=0}}[/tex3]

A outra reta do gabarito conseguimos encontrar igualando a -2 quando retirar o módulo.

Grande abraço,
Prof. Caju

[MatheusBorgesMOD]

caju, até entendo (por que foi isso que fiz), o problema é que esse segmento é positivo.

[cajuADMIN]

caju, até entendo (por que foi isso que fiz), o problema é que esse segmento é positivo.

Olá MafIl10,

Não entendi sua colocação. Cheguei exatamente no valor indicado no gabarito.

Achei que você tinha feito os cálculos e não tinha conseguido terminar.

Poderia explicar melhor essa sua dúvida quanto ao "segmento positivo"?

Grande abraço,
Prof. Caju

[MatheusBorgesMOD]

[tex3]\left|\frac{4m+3-2m+1}{\sqrt{m^2+1}}\right|=2\\
\left|\frac{m+2}{\sqrt{m^{2}+1}}\right|=1\\
|m+2|=(\sqrt{m^{2}+1}).1\\
(m+2)^{2}=(m^{2}+1).1\\
\cup\\
(m+2)^{2}=(m^{2}+1).(-1)^{2}[/tex3]
Veja que indefere colocar 2 ou -2, obtemos o mesmo resultado, fora que isso é uma distância entre dois pontos, como pode ser -2?

[csmarceloMOD]

Não tenho grandes conhecimentos de geometria analítica, mas me meti a tentar resolver a acabou saindo algo que envolve potência de ponto. Isso foi de manhã cedo, mas só tive tempo para postar agora. A solução já foi dada, mas vou deixar a minha aqui, mesmo sendo mais complicada, para não jogar fora o raciocínio.

[tex3]P(2,1)[/tex3]
[tex3]C(4,-3)[/tex3]

[tex3]d(P,C)=\sqrt{[1-(-3)]^2+(4-2)^2}=2\sqrt{5}[/tex3]

Por potência de ponto, sendo [tex3]d[/tex3] a distância de P até a interseção da reta que passa por P com a circunferência:

[tex3](2\sqrt{5}+3)(2\sqrt{5}-3)=d(d+2\sqrt{5})\rightarrow d=4-\sqrt{5}[/tex3]

Agora basta encontrar as interseções entre as duas circunferências abaixo para determinar as equações das retas.

[tex3](x-4)^2+(y+3)^2=9[/tex3]
[tex3](x-2)^2+(y-1)^2=(4-\sqrt{5})^2[/tex3]

[csmarceloMOD]

Complementando:

Por potência de ponto, sendo [tex3]d[/tex3] a distância de P até a interseção da reta que passa por P com a circunferência, determinando a corda cujo comprimento é igual a [tex3]{\color{red}2\sqrt{5}}[/tex3]: