Ensino Superior ⇒ Derivada - Custo Mínimo - Otimização Tópico resolvido

[AnaRaft]

A direção da loja de departamento único decidiu cercar uma área de 800 pés quadrados do lado de fora do prédio para exposição de plantas e flores em vasos. Um dos lados será formado pela parede externa da loja, dois lados serão construídos em tábua de pinho e o quarto lado será feito de uma cerca de aço galvanizado. Se o custo de uma cerca de tábua de pinho for de $ 6 pés/linear e a cerca de aço custa $3 pés/linear, determine as dimensões da área da cerca que pode ser construída com custo mínimo.

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R= 10 [tex3]\sqrt{2}[/tex3] pés X 40 [tex3]\sqrt{2}[/tex3] pés

[Cardoso1979]

Observe

Solução

Sabemos que a área que ele deseja cercar é: 800 pés quadrados. Então;

A = 800 pés quadrados

Sabemos também que a área é dada por :

A = x.y → x.y = 800

O perímetro da cerca é: P = 2x + y

Como a cerca de tábua de pinho custa R$ 6 pés/linear e a cerca de aço galvanizado custa R$ 3 pés/linear, temos;

P = 12x + 3y ( I )


O que temos que otimizar é o perímetro, ou seja , a quantidade de cerca gasta. De A , temos;

x.y = 800 → y = [tex3]\frac{800}{x} ( I I ) [/tex3]

Substituindo ( I I ) em ( I ) , fica;

P( x ) = 12x + [tex3]\frac{2400}{x}[/tex3]

Derivando:

P'( x ) = 12 - [tex3]\frac{2400}{x^{2}}[/tex3]

P'( x ) = [tex3]\frac{12x^{2}-2400}{x^{2}}[/tex3]

Descobrindo os números críticos P'(x) = 0:

x = 0

e

12x² = 2400 → x = √(100.2) →x = 10√2

Porém, x = 0 não pertence ao domínio. Logo , temos um mínimo local em x = 10√2 pés.

Substituindo x = 10√2 em ( I I ) , vem;

y = [tex3]\frac{800}{10√2}[/tex3]

y = [tex3]\frac{80√2}{2}[/tex3]

y = 40√2 pés

Portanto, a forma de minimizar os custos da cerca é ter como dimensão dessa área a ser cercada 10√2 pés X 40√2 pés.

Obs.

x → cerca de madeira( pinho )
y → cerca de aço ( galvanizado )


Bons estudos!