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[quevedo]

O número de valores inteiros de m para os quais as raizes da equação x^2 - (m +m^2)x +m^3 -1 =0 são inteiras é igual a:
A) 0
B)1
C)2
D)4
E)5

[Auto Excluído (ID:20809)]

Olá,

[tex3]x^2 - (m + m^2)x + m^3 - 1 = 0 [/tex3]
[tex3]\hspace{1cm} \Delta = [-(m + m^2)]^2 - 4\cdot(m^3 -1)[/tex3]
[tex3]\hspace{1cm} \Delta = m^2 + m^4 - 2m^3 + 4[/tex3]
[tex3]\hspace{1cm} \Delta = m^2 + m^4 - 2m^3 + 4 = k ^2[/tex3]
[tex3]\hspace{1cm} \Delta = 4 = k ^2 - ( - m + m^2 )^2[/tex3]

[tex3]\Leftrightarrow ( k -m^2 + m )\cdot( k + m^2 - m ) = 4[/tex3]

Como k e m [tex3]\in\, \mathbb{Z} [/tex3], basta resolver os sistemas:

[tex3]\begin{cases} k -m^2 + m = \pm\ 2\\ k + m^2 - m= \pm\ 2 \end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases} k -m^2 + m = \pm\ 1\\ k + m^2 - m= \pm\ 4 \end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases} k -m^2 + m = \pm\ 4\\ k + m^2 - m= \pm\ 1 \end{cases}[/tex3]

[Killin]

A resposta fica C né?

[quevedo]

Eu não sei o gabarito, mas não vi erro nenhum na sua resolução. Acho q está correta. Pq os dois últimos sistemas não gerarão k inteiro e o primeiro sistema gerará duas equações do 2 grau onde uma terá raizes complexas pra m e a outra dará m= 1 e m= -2.
Muito obrigado

[Auto Excluído (ID:20809)]

A resposta fica C né?

Eu não cheguei a terminar o problema, mas basta ver quais são os valores inteiros de m dos sistemas que tornam as soluções de equação em função de x também inteiras