IME / ITA ⇒ (Simulado-IME) Equação Exponencial Tópico resolvido

[Kalashnikov]

O número de pares reais [tex3](x,y)[/tex3] tais que [tex3]\begin{cases}
x^{x+y}=y^{6} \\
y^{x+y}=x^{12}.y^{6}
\end{cases}[/tex3] é:
a) 1.
b) 2.
c) 3
d) 4.
e) mais de 4.

Resposta

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Letra B.

[Auto Excluído (ID:20809)]

Eu pensei no seguinte:

1) multiplicando as duas expressões

[tex3]x^{x+y}\cdot y^{x+y} =x^{12}.y^{6}\cdot y^{6}[/tex3]
[tex3]\Leftrightarrow (xy)^{x+y} = (xy)^{12}[/tex3]
[tex3]\Leftrightarrow x + y = 12[/tex3]

2) [tex3]x^{x+y}=y^{6}[/tex3]
[tex3]\Leftrightarrow y^{6} = x^{12}[/tex3]
[tex3]\Leftrightarrow y = \pm\ \sqrt[6]{x^{12}}[/tex3]
[tex3]\Leftrightarrow y = \pm\ x^2[/tex3]

3)
I. [tex3]y = - x^2 :[/tex3]
[tex3]-\ x^2 + x - 12 = 0 [/tex3]
[tex3]\hspace{1cm} \Delta < 0[/tex3]

II. [tex3]y = + x^2 :[/tex3]
[tex3]+\ x^2 + x - 12 = 0 [/tex3]
[tex3]\hspace{1cm} \Delta = 49[/tex3]
[tex3]\hspace{1cm} x = \frac{-1\pm 7}{2}[/tex3]