Ensino Médio ⇒ Soluções inteiras e não negativas Tópico resolvido

[RinaldoEN19]

O numero de soluções inteiras não negativas de [tex3]x+y+z+4w = 20[/tex3] é

Resposta

---

536

[Auto Excluído (ID:20809)]

Essa questão envolve a ideia de combinações completas, a ideia é a seguinte

Problema inicial:
Determinar o número de soluções inteiras e não-negativas da seguinte equação:

[tex3]\hspace{5cm}x_1 + x_2 + x_3 = 8 [/tex3]

Algumas possíveis soluções para essa equação são:

[tex3]\hspace{5cm} 3 + 3 + 2[/tex3]
[tex3]\hspace{5cm} 5 + 2 + 1[/tex3]
[tex3]\hspace{5cm} 0 + 8 + 0[/tex3]
[tex3]\hspace{5cm} 1 + 0 + 7[/tex3]

que podem ser intepretadas da seguinte maneira, repare

[tex3]\hspace{5cm} 1 + 1 + 1\ {\color{red}+}\ 1 + 1 + 1\ {\color{blue}+}\ 1 + 1 = 8 [/tex3] [tex3]\hspace{1cm} ( 3, 3, 2)[/tex3]

Uma possível interpretação disso é que à esquerda do sinal [tex3]{\color{red}+}[/tex3] nós temos o valor de [tex3]x_1[/tex3](3); entre os sinais [tex3]{\color{red}+}[/tex3] e [tex3]{\color{blue}+}[/tex3] nós temos o valor de [tex3]x_2[/tex3](3)e após o sinal [tex3]{\color{blue}+}[/tex3] temos o valor de [tex3]x_3 [/tex3](2)

A mesma coisa para os outros casos:

[tex3]\hspace{5cm} 1 + 1 + 1+ 1 + 1 \ {\color{red}+}\ 1 + 1 \ {\color{blue}+}\ 1 = 8 [/tex3] [tex3]\hspace{1cm} ( 5, 2, 1)[/tex3]
[tex3]\hspace{5cm}{\color{red}+}\ 1 + 1 + 1+ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 \ {\color{blue}+}\ = 8 [/tex3] [tex3]\hspace{1cm} ( 0, 8, 0)[/tex3]
[tex3]\hspace{5cm} 1 \ {\color{red}+}\ {\color{blue}+}\ 1 + 1+ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 8 [/tex3] [tex3]\hspace{1cm} ( 1, 0, 7)[/tex3]

É fácil ver que o número de soluções da equação [tex3]x_1 + x_2 + x_3 = 8 [/tex3] é dado pela permutação com os seguintes elementos repetidos:

[tex3]{\color{red}+}\ {\color{blue}+}\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1 = P_{10}^{8,2}[/tex3] ( 8 1's e 2 + )


Voltando para o seu enunciado, devemos dividi-lo em 6 casos:

i) w = 0 :
[tex3]x + y + z = 20 [/tex3]
As soluções dessa equação são dadas por [tex3]P_{22}^{20,2}[/tex3]

ii) w = 1 :
[tex3]x + y + z = 16 [/tex3]
As soluções dessa equação são dadas por [tex3]P_{18}^{16,2}[/tex3]

iii) w = 2 :
[tex3]x + y + z = 12 [/tex3]
As soluções dessa equação são dadas por [tex3]P_{14}^{12,2}[/tex3]

iv) w = 3 :
[tex3]x + y + z = 8 [/tex3]
As soluções dessa equação são dadas por [tex3]P_{10}^{8,2}[/tex3]

v) w = 4 :
[tex3]x + y + z = 4 [/tex3]
As soluções dessa equação são dadas por [tex3]P_{6}^{4,2}[/tex3]

vi) w = 5 :
[tex3]x + y + z = 0 [/tex3]
Só temos uma solução, x = y = z = 0, já que devemos ter x,y,z não-negativos

A resposta é [tex3]P_{22}^{20,2} + P_{19}^{17,2} + P_{14}^{12,2} + P_{10}^{8,2} + P_{6}^{4,2} + 1 = 536 [/tex3]