IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 2004) Geometria Plana: Área de um Triângulo

[edu_landim]

Considere o triângulo escaleno [tex3]ABC[/tex3] e os pontos [tex3]P \textrm{ e } Q[/tex3] pertencentes ao plano [tex3]ABC[/tex3] e exteriores a esse triângulo. Se as medidas dos ângulos [tex3]\large P\hat{A}C[/tex3] e [tex3]\large Q\hat{B}C[/tex3] são iguais; as medidas dos ângulos [tex3]\large P\hat{C}A[/tex3] e [tex3]\large Q\hat{C}B[/tex3] são iguais; [tex3]M[/tex3] é o ponto médio de [tex3]AC;[/tex3] [tex3]N[/tex3] é o ponto médio de [tex3]BC;[/tex3] [tex3]\large S_1[/tex3] é a área do triângulo [tex3]PAM;[/tex3] [tex3]\large S_2[/tex3] é a área do triângulo [tex3]QBN;[/tex3] [tex3]\large S_3[/tex3] é a área do triângulo [tex3]PMC[/tex3] e [tex3]\large S_4[/tex3] é a área do triângulo [tex3]QNC,[/tex3] analise as afirmativas:

I. [tex3]\large S_1[/tex3] está para [tex3]\large S_4,[/tex3] assim como [tex3]\large S_3[/tex3] está para [tex3]\large S_2.[/tex3]
II. [tex3]\large S_1[/tex3] está para [tex3]\large S_2,[/tex3] assim como [tex3]\large \overline{PM}^2[/tex3] está para [tex3]\large \overline{QN}^2.[/tex3]
III. [tex3]\large S_1[/tex3] está para [tex3]\large S_3,[/tex3] assim como [tex3]\large S_2[/tex3] está para [tex3]\large S_4.[/tex3]

Logo se pode concluir, corretamente, que:

a) apenas a afirmativa I é verdadeira.
b) apenas as afirmativas I e II são verdadeiras.
c) apenas as afirmativas I e III são verdadeiras.
d) apenas as afirmativas II e III são verdadeiras.
e) as afirmativas I, II e III são verdadeiras.

Resposta:

---

e

[fabit]

Letra (d): só II e III são verdadeiras.

As áreas [tex3]S_1[/tex3] e [tex3]S_3[/tex3] são proporcionais ao quadrado do lado sobre a qual seus triângulos foram feitos: [tex3]AC.[/tex3]

As áreas [tex3]S_2[/tex3] e [tex3]S_4[/tex3] ficam proporcionais ao quadrado de [tex3]BC.[/tex3]

Isso sustenta a II e a III.

Já a I é falsa porque está invertida. O certo seria multiplicar [tex3]S_1\cdot S_4=S_2\cdot S_3.[/tex3]

[edu_landim]

O item I também está correto.

As áreas [tex3]S_1[/tex3] e [tex3]S_3[/tex3] são proporcionais ao quadrado do lado sobre a qual seus triângulos foram feitos: [tex3]AC.[/tex3]

As áreas [tex3]S_2[/tex3] e [tex3]S_4[/tex3] ficam proporcionais ao quadrado de [tex3]BC.[/tex3]

Dizemos que dois termos são proprocionais a outros dois, não entendi o que disse.

[fabit]

São semelhantes os triângulos [tex3]PAC[/tex3] e [tex3]QBC[/tex3] com razão de semelhança, digamos, [tex3]x.[/tex3]

Então [tex3]PA=x.QB,[/tex3] [tex3]PC=x.QC,[/tex3] [tex3]AC=x.BC[/tex3] e também [tex3]h_{AC}=x.h_{BC}[/tex3] expressando a relação entre as alturas dos triângulos [tex3]PAC[/tex3] e [tex3]QBC[/tex3] respectivamente relativas a [tex3]AC[/tex3] e [tex3]BC.[/tex3] Essas alturas também são alturas para os triângulos de área [tex3]S_i,\text{ } i=1,2,3,4.[/tex3] Isso explica porque [tex3]S_1=x^2S_2[/tex3] e [tex3]S_3=x^2S_4.[/tex3]

Todas as medidas lineares levam [tex3]x[/tex3] e as quadráticas levam [tex3]x[/tex3] ao quadrado. Foi isso que quis dizer.

Quanto a ser verdadeira [tex3]S_1[/tex3] está para [tex3]S_4[/tex3] assim como [tex3]S_3[/tex3] está para [tex3]S_2,[/tex3] vejamos. Isso significa [tex3]\frac{S_1}{S_4}=\frac{S_3}{S_2}\Rightarrow\frac{x^2S_2}{S_4}=\frac{x^2S_4}{S_2}\Rightarrow S_2=S_4[/tex3]. Isso só vale se [tex3]AB=AC,[/tex3] mas aí [tex3]ABC[/tex3] não seria escaleno.

Continuo achando que I é falsa.

[edu_landim]

• 

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Considere a figura acima construída a partir das instruções do problema.

Perceba que [tex3]\overline{PM}[/tex3] é mediana de [tex3]\triangle APC[/tex3] em relação a [tex3]\overline{AC}[/tex3] e que [tex3]\overline{QN}[/tex3] é mediana de [tex3]\triangle BQC[/tex3] em relação a [tex3]\overline{BC}.[/tex3] Ao traçarmos uma mediana de um triângulo geramos dois triângulos de área igual à metade do triângulo inicial. Sabendo isso, temos

• [tex3]\left|\begin{array}{l}S_1\,=\,S_3\text{ } (*)\\ \text{ e} \\S_2\,=\,S_4\text{ } (**) \end{array}\right.[/tex3]

Desta forma temos

• [tex3]\frac{S_1}{S_3}\,=\,\frac{S_2}{S_4}\,=\,1[/tex3]

Multiplicando [tex3](*)[/tex3] por [tex3]S_2[/tex3] temos

• [tex3]S_1\,\cdot\,S_2\,=\,S_3\,\cdot\,S_2\text{ } (***)[/tex3]

De [tex3](**)[/tex3] e [tex3](***)[/tex3] temos

• [tex3]S_1\,\cdot\,S_2\,=\,S_3\,\cdot\,S_4[/tex3]
  
  [tex3]\frac{S_1}{S_4}\,=\,\frac{S_3}{S_2}[/tex3]

Perceba que [tex3]\triangle APC \sim \triangle BQC[/tex3] sendo a razão das áreas igual ao quadrado da razão de dois lados (ou cevianas) correspondentes. Assim

• [tex3]\frac{S_1\,+\,S_3}{S_2\,+\,S_4}\,=\,\left(\frac{PM}{QN}\right)^2[/tex3]
  
  [tex3]\frac{2S_1}{2S_2}\,=\,\frac{PM^2}{QN^2}[/tex3]
  
  [tex3]\frac{S_1}{S_2}\,=\,\frac{PM^2}{QN^2}[/tex3]

Opção (e).