Pré-Vestibular ⇒ (PUC) Trigonometria: Equação Trigonométrica

[Natan]

Sendo [tex3]x\in [0, 360^\circ],[/tex3] resolva a equação [tex3]\text{tg}(45^\circ+x)=2+3\text{tg} x.[/tex3]

[Thadeu]

• [tex3]\text{tg}(45^\circ +x)=\frac{\text{tg}x+\text{tg}45^\circ}{1-\text{tg}x\cdot \text{tg}45^\circ}=\frac{\text{tg}x+1}{1-\text{tg}x}[/tex3]
  
  [tex3]\text{tg}(45^\circ +x)= 2+3\text{tg}x \Rightarrow \frac{\text{tg}x+1}{1-\text{tg}x}=2+3\text{tg}x\Rightarrow \text{tg}^2x=\frac{1}{3}[/tex3]

• [tex3]\text{tg} x=\frac{\text{sen}x}{\cos x}\\\text{sen}x>0\,\Rightarrow\,(\text{sen}x>0 \text{ e } \cos x>0) \text{ ou } (\text{sen}x<0 \text{ e } \cos x < 0)\\
  \text{tg} x <0\Rightarrow\,(\text{sen}x > 0 \text{ e } \cos x<0) \text{ ou } (\text{sen} x < 0 \text{ e } \cos x>0)[/tex3]
  
  [tex3]\text{tg}^2x = \frac{1}{3} \Rightarrow \text{tg} =\pm\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex3]

Para [tex3]\text{tg}x= +\frac{\sqrt{3}}{3},[/tex3] [tex3]\text{sen}x[/tex3] e [tex3]\cos x[/tex3] devem ter o mesmo sinal, então estarão no primeiro e no terceiro quadrantes.

• [tex3]\cos x[/tex3] e [tex3]\text{sen}x[/tex3] positivos [tex3]\Rightarrow\,x=30^\circ[/tex3]
  [tex3]\cos x[/tex3] e [tex3]\text{sen}x[/tex3] negativos [tex3]\Rightarrow\,x=210^\circ[/tex3]

Para [tex3]\text{tg}x=-\frac{\sqrt{3}}{3},[/tex3] [tex3]\text{sen}x[/tex3] e [tex3]\cos x[/tex3] devem ter sinais contrários, então estarão no segundo e no quarto quadrantes.

• [tex3]\cos x[/tex3] negativo e [tex3]\text{sen}x[/tex3] positivo [tex3]\Rightarrow\,x=150^\circ[/tex3]
  [tex3]\cos x[/tex3] positivo e [tex3]\text{sen}x[/tex3] negativo [tex3]\Rightarrow\,x=330^\circ[/tex3]

[Karl Weierstrass]

Olá Natan e Thadeu,

Vou partir de [tex3]\text{tg}x =\pm\frac{\sqrt{3}}{3}.[/tex3]

A equação é da forma [tex3]\text{tg} \alpha = \text{tg}\beta,[/tex3] cuja solução geral é dada por [tex3]\alpha =\beta +k\pi, \text{ } k \in \mathbb{Z}.[/tex3]

1) [tex3]\text{tg}x =\frac{\sqrt{3}}{3}.[/tex3]

Para esta equação, devemos descobrir o menor arco positivo cuja tangente é [tex3]\frac{\sqrt{3}}{3}.[/tex3] É fácil ver que [tex3]\beta = \frac{\pi}{6}.[/tex3] Logo,

• [tex3]\text{tg}x =\frac{\sqrt{3}}{3}\Longrightarrow \text{tg}x=\text{tg}\frac{\pi}{6}\Longrightarrow x=\frac{\pi}{6}+k\pi, \text{ } k \in \mathbb{Z}.\text{ } (i)[/tex3]

2) [tex3]\text{tg}x =-\frac{\sqrt{3}}{3}.[/tex3]

Como [tex3]{-}\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex3] obviamente é negativo, devemos descobrir qual é o menor arco positivo cuja tangente é [tex3]{-}\frac{\sqrt{3}}{3}.[/tex3] Sabendo que a imagem da função tangente é negativa nos quadrantes II e IV, temos que o arco procurado se encontra no 2º quadrante. Como arcos suplementares têm tangentes simétricas,

• [tex3]\beta = \pi - \frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}.[/tex3]

Portanto,

• [tex3]\text{tg}x =-\frac{\sqrt{3}}{3}\Longrightarrow \text{tg}x=\text{tg}\frac{5\pi}{6}\Longrightarrow x=\frac{5\pi}{6}+k\pi, \text{ } k \in \mathbb{Z}.\text{ } (ii)[/tex3]

Agora é só atribuir valores inteiros para [tex3]k[/tex3] em [tex3](i)[/tex3] e [tex3](ii),[/tex3] e verificar quais soluções estão no intervalo [tex3][0,2\pi].[/tex3]