Olimpíadas ⇒ (Olimpíada do Pará - 2004) Demonstração de propriedade da fração Tópico resolvido

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Quando a, b e c são os três números racionais [tex3]\frac{1}{2}, \ \frac{1}{3} \ e \ \frac{1}{5}[/tex3], o valor de:

[tex3]\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}= \frac{1}{(\frac{1}{6})^2}+\frac{1}{(\frac{2}{15})^2}+\frac{1}{(\frac{3}{10})^2}=36+\frac{225}{4}+\frac{100}{9}=(\frac{61}{6})^2[/tex3] é o quadrado de um número racional.

Prove que este fato não é uma coincidência, ou seja, para quaisquer valores de a, b e c racionais, a quantidade [tex3]\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}[/tex3] é sempre o quadrado de um número racional.

[Winston]

Seja [tex3]x = (a-b), y=(b-c),z=(c-a)[/tex3]

[tex3]\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} = \frac{y^2 + x^2}{x^2y^2} + \frac{1}{z^2} = \frac{x^2z^2 +x^2y^2 + y^2z^2}{x^2y^2z^2} = [/tex3]

[tex3]\frac{x^2(z^2 + y^2) + y^2z^2}{x^2y^2z^2} = \frac{x^2[(z+y)^2 - 2yz]+y^2z^2}{x^2y^2z^2} =[/tex3]

[tex3]\frac{x^2(z+y)^2 - 2x^2yz + y^2z^2}{x^2y^2z^2}[/tex3]

Substituindo os valores

[tex3]\frac{(a-b)^2(b-c+c-a)^2 - 2(a-b)^2(b-c)(c-a) + (b-c)^2(c-a)^2}{(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2} =[/tex3]

[tex3]\frac{(a-b)^4 - 2(a-b)^2(b-c)(c-a) + (b-c)^2(c-a)^2}{(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2} = [/tex3]

[tex3]\left(\frac{(a-b)^2 - (b-c)(c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)}\right)^2[/tex3]