Ensino Médio ⇒ (CM Brasília-2008) Fração

[Auto Excluído (ID:20808)]

Calcule a soma dos termos da maior fração irredutível, para que o produto de seus termos seja 54.

a) 15
b) 55
c) 21
d) 29
e) 36

Resposta

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d

Eu acho que é a alternativa b), pois fazendo [tex3]\frac{54}{1}[/tex3] a soma dá 55. O que acham?

[Auto Excluído (ID:20809)]

Seja a fração [tex3]\frac{x}{y}[/tex3] [tex3]mdc\ ( x,y ) = 1[/tex3]

[tex3]x\cdot y = 54 \rightarrow x = \frac{54}{y}[/tex3]

Logo, queremos o maior valor de [tex3]\frac{54}{y^2}[/tex3], que ocorre para y = 2
Veja que quanto maior o valor de y, menor será o valor da fração

Assim, y = 2 [tex3]\Rightarrow[/tex3] x = 27 ;

Para y = 1 nós não temos uma fração

[Auto Excluído (ID:20808)]

Para y = 1 nós não temos uma fração

Por que?

[Auto Excluído (ID:20809)]

Para y = 1 nós não temos uma fração

Por que?

Se [tex3]\frac{a}{b}[/tex3] é irredutível significa que não há fator em comum entre a e b, certo?

Como poderíamos reduzir/simplificar a fração e chegar em um número inteiro?(54)

O único caso em que isso ocorre é quando você fura a definição, ou seja: 108/2 = 54/1 = 54, quando a fração não é irredutível

[Auto Excluído (ID:20808)]

Resposta do Prof. Caju:

Olá humano,

Vi a questão, e fico com a resposta B, mesmo.

Veja a definição do Iezzi de "fração irredutível":

Na fração a/b, a é o numerador e b o denominador. Se a e b são primos entre si, isto é, se mdc(a, b) = 1, dizemos que a/b é uma fração irredutível. Assim, as frações 2/3, 3/7 e 7/15 são irredutíveis, mas 6/10 não é.

Ou seja, não faz nenhuma menção sobre as frações serem próprias ou impróprias. Ou seja, vale todos! Inclusive as frações aparentes (no caso, 54/1).

Veja que isso é uma discussão de definição. Já saiu da discussão no campo do entendimento do conceito, está apenas pensando em definição, que pode variar de autor para autor. De repente, algum outro autor pode ter definido de forma diferente (tem que ver qual autor é o da bibliografia recomendada para o CM-Brasília).

Outro ponto que pode estar errado é o enunciado da questão. De repente o enunciado original falava "Calcule a soma dos termos da maior fração própria irredutível, para que o produto de seus termos seja 54." Daí muda tudo.

Grande abraço,
Prof. Caju

Obrigado!