Pré-Vestibular ⇒ (UCG) - P.G & Log Tópico resolvido

[DeyvisonML]

Olá, pessoal do TutorBrasil!
Estou com dificuldade nesta questão:

(UCG) Os termos da PG ([tex3]x, x^{3}, x^{5},... ,x^{199}[/tex3]) são tais que [tex3]\log _2(x)+\log _2(x^{3}) +... +\log _2(x^{199}) = 20.000[/tex3]. Determine o valor de [tex3]x[/tex3].

Resposta

---

Gabarito: Desculpa, não possuo.

Off Topic

Eu resolvi até aqui:
Número de termos: [tex3]n = 100[/tex3]
Razão q do conjunto de log: [tex3]q = \frac{1}{3}[/tex3]
Utilizando a equação de soma de uma P.G: [tex3]20.000 = \frac{\log _2(x)(1-\frac{1}{3}^{100})}{1-\frac{1}{3}}[/tex3]
Eu já encontrei [tex3]x = \frac{1}{8,7^{41}}[/tex3] e [tex3]x=2^{13333,33...}[/tex3], não sei o que estou errando, se alguém puder me ajudar, agradeço.

[Hanon]

SOLUÇÃO:

[tex3]\log _2(x)+\log _2(x^{3}) +... +\log _2(x^{199}) = 20.000[/tex3]
[tex3]\log _2(x\cdot x^3\cdot x^5 \cdot ...\cdot x^{199}) = 20.000\\
\log _2(x^{1+3+5+...+199}) = 20.000\\
\log _2 (x^{\frac{(1+199)\cdot 100}{2}}) = 20.000\\
\log_{2}(x^{100^2})=20 \ 000\\
100^2\cdot\log_{2}(x)=20 \ 000\\
\log_{2}(x)=\frac{20000}{10000}\\
\log_{2} x=2\\
x=2^2\\
\boxed{\boxed{x=4}}[/tex3]

[DeyvisonML]

Oi!
Só confirmando... como você usou soma de uma P.A a seguinte passagem seria:

[tex3]\log_{2}(x^{\frac{100^2}{2}})=20 \ 000\\
\frac{100^2}{2}\cdot\log_{2}(x)=20 \ 000\\
\log_{2}(x)=\frac{40000}{10000}\\
\log_{2} x=4\\
x=2^4\\
\boxed{\boxed{x=16}}[/tex3]

Correto?

Obrigado pela ajuda.

[Hanon]

Não. Seria assim:
(1,3,5, ... , 199)
É uma P.A, pois para avançar para o termo seguinte estamos somando um valor constante ([tex3]r=2[/tex3]).
[tex3]a_1=1\\
a_n=199\\
n=100[/tex3]

Portanto,
[tex3]S_{100}=\frac{(1+199)\cdot 100}{2}[/tex3]
[tex3]S_{100}=\frac{200\cdot 100}{2}[/tex3]
[tex3]S_{100}=100\cdot 100\\
S_{100}=100^2[/tex3]

[DeyvisonML]

Hanon, verdade.