Pré-Vestibular ⇒ (UECE) Geometria Plana: Triângulos

[rodri200go]

A mediana relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo mede [tex3]\text{1cm}[/tex3] e forma com um dos catetos um ângulo de [tex3]30^\circ.[/tex3] Determine o perímetro, em [tex3]\text{cm},[/tex3] do triângulo.

Resposta:

---

[tex3]3 + \sqrt{3}[/tex3]

[fabit]

Em qualquer triângulo retângulo, a hipotenusa tem o dobro do comprimento da sua mediana. No caso, mede [tex3]2\text{cm}.[/tex3] Isso é porque o triângulo retângulo fica inscrito num semicírculo, do qual a mediana é o raio e a hipontenusa o diâmetro.

Formam-se, de um lado e de outro da mediana, dois triângulos isósceles. Na situação em que um o ângulo agudo entre mediana e hipotenusa é [tex3]30^\circ[/tex3] (e portanto o obtudo é [tex3]150^\circ),[/tex3] os isósceles ficam com os seguintes trios de ângulos em graus: i) [tex3]75, 75[/tex3] e [tex3]30;[/tex3] e ii) [tex3]15, 15[/tex3] e [tex3]150.[/tex3]

O triângulo retângulo tem, portanto, ângulos de [tex3]15, 75[/tex3] e [tex3]90[/tex3] graus.

Usando arco-soma e arco-subtração, calcula-se [tex3]\sin{75^\circ}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}[/tex3] e [tex3]\sin{15^\circ}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}[/tex3]. Com isso um dos catetos fica [tex3]2\sin{75^\circ}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}[/tex3] e o outro fica [tex3]\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}[/tex3]. O perímetro fica, somando tudo, [tex3]2+\frac{\sqrt{6}}{2}+\cancel{\frac{\sqrt{2}}{2}}+\frac{\sqrt{6}}{2}-\cancel{\frac{\sqrt{2}}{2}}=2+\sqrt{6}[/tex3]

Resposta: [tex3](2+\sqrt{6})\text{cm}[/tex3]

[ALDRINMOD]

Eu acho que formam dois triângulos, um com ângulos de [tex3]30^\circ[/tex3], [tex3]30^\circ[/tex3] e [tex3]120^\circ[/tex3] e outro com ângulos de [tex3]60^\circ[/tex3], [tex3]60^\circ[/tex3] e [tex3]60^\circ[/tex3], depois usar lei dos cossenos para encontrar o lado oposto ao ângulo de [tex3]120^\circ[/tex3].

[rodri200go]

Olá Fabit, você só trocou o lugar do ângulo: o ângulo que a mediana faz com um dos catetos. Por isso que não bateu a resposta. Mas graças à sua ajuda consegui desenvolver. Valeu, um abraço.

[Karl Weierstrass]

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Como [tex3]\overline{AM}=1\text{cm}[/tex3] é mediana, temos que [tex3]\overline{BC}=2\cdot \overline{AM}=2\text{cm}.[/tex3] Além disso, [tex3]\overline{BM}=\overline{CM}=\overline{AB}=1\text{cm},[/tex3] pois [tex3]M[/tex3] é ponto médio de [tex3]BC[/tex3] e o [tex3]\triangle AMB[/tex3] é equilátero. Desse modo,

• [tex3]\sin A\widehat{B}C=\frac{\overline{AC}}{\overline{BC}}\Longrightarrow \overline{AC}=\sqrt{3}\text{cm}[/tex3]

Portanto, o perímetro do [tex3]\triangle ABC[/tex3] é [tex3]3+\sqrt{3}.[/tex3]

[fabit]

Que legal, rodri200go. Desculpe a distração.

Uma vez deixei de gabaritar uma prova de 50 questões (isso mesmo, tirei 49/50) por causa de uma distração parecida: era um triângulo isósceles onde os ângulos congruentes mediam metade do diferente e eu fiz o contrário (pensei no diferente sendo metade dos iguais). Em vez de trabalhar com [tex3]45, 45[/tex3] e [tex3]90,[/tex3] trabalhei com [tex3]72, 72, 36.[/tex3] A questão ficou bem mais interessante com o triângulo errado, e por isso eu nem disconfiei.