Concursos Públicos ⇒ (CP-CEM 2013 - Questão 14) Integral de Linha do Campo Tópico resolvido

[Binga]

Olá.

Poderia me ajudar com essa? (Procurei no fórum e não encontrei)

14 - Qual é a integral de linha do campo [tex3]F(x,y)=(x^{2}+2y,x+y^{2})[/tex3] ao longo da curva [tex3]h(t)=(cos(t), sin(t))[/tex3], [tex3]0\leq t\leq 2\pi [/tex3]?

(A) [tex3]-\pi [/tex3]
(B) 0
(C) [tex3]\pi [/tex3]
(D) [tex3]2\pi [/tex3]
(E) [tex3]3\pi [/tex3]

Resposta

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Resposta [tex3]A[/tex3]

[fortran]

Bom, o caminho de integração é uma circunferência centrada na origem e de raio 1. No entanto a questão já nos deu a forma dela parametrizada pelo vetor [tex3]h(t)=(x(t),y(t))[/tex3]. A notação mais usada para se parametrizar uma curva é [tex3]r(t)[/tex3] ou [tex3]\gamma (t)[/tex3], o que não muda absolutamente nada pois é só questão de notação. Vou utilizar [tex3]r(t)[/tex3], portanto, o que devemos calcular é:

[tex3]\Rightarrow \tau =\int F \cdot dr[/tex3]

Assim:

[tex3]\Rightarrow x(t)=\cos(t)[/tex3]
[tex3]\Rightarrow y(t)=\sin(t)[/tex3]
[tex3]\Rightarrow dr=(-\sin(t), \cos(t))dt[/tex3]
[tex3]\Rightarrow F(x,y)=(x^{2}+2y,x+y^{2})[/tex3]
[tex3]\Rightarrow F(t)=(\cos^{2}(t)+2\sin(t), \cos(t)+\sin^{2}(t))[/tex3]
[tex3]\Rightarrow F \cdot dr=(-\sin(t)\cos^{2}(t)-2\sin^{2}(t)+\cos^{2}(t)+\cos(t)\sin^{2}(t))dt[/tex3]

E finalmente, o problema se reduz para o cálculo da integral:

[tex3]\Rightarrow \tau = \int\limits_{0}^{2\pi}(-\sin(t)\cos^{2}(t)-2\sin^{2}(t)+\cos^{2}(t)+\cos(t)\sin^{2}(t))dt[/tex3]
[tex3]\Leftrightarrow \tau = -\pi[/tex3]

Para se resolver as integrais, o primeiro termo e quarto termo saem por substituição chamando [tex3]u=\cos(t)[/tex3] e [tex3]u=\sin(t)[/tex3]. Os termos do meio, acho mais fácil juntar eles e fazer [tex3]-2\sin^{2}(t)+\cos^{2}(t)=-2+3\cos^{2}(t)[/tex3] (só usar a relação [tex3]\sin^{2}(t)+\cos^{2}(t)=1[/tex3]) e a integral do termo constante é trivial e a outra você utiliza [tex3]\cos^{2}(t)=(1+\cos(2t))/2[/tex3].

[Binga]

Muito obrigado pela ajuda.
Essa é mais chatinha de fazer.
Eu estava no caminho certo.
Fiquei com dúvida no momento da multiplicação do F x dr.