Pré-Vestibular ⇒ (CESGRANRIO - 1975) Geometria Espacial: Tetraedro

[Gustavo_HSAL]

Em um tetraedro, duas arestas opostas são ortogonais e têm a mesma medida [tex3]a.[/tex3] Essas arestas são também perpendiculares ao segmento de medida [tex3]b[/tex3] que une seus pontos médios. O volume do tetraedro é:

a) [tex3]\frac{ab^2}{6}[/tex3]
b) [tex3]\frac{ab^2}{2}[/tex3]
c) [tex3]\frac{2a^2b}{3}[/tex3]
d) [tex3]\frac{a^2b}{4}[/tex3]
e) [tex3]\frac{a^2b}{6}[/tex3]

Resposta:

---

e

[Karl Weierstrass]

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Sejam [tex3]VB[/tex3] e [tex3]AC[/tex3] as arestas opostas. Como [tex3]VB[/tex3] e [tex3]AC[/tex3] são ortogonais, o plano definido por [tex3]V,\text{ }B[/tex3] e [tex3]E[/tex3] é perpendicular à reta suporte da aresta [tex3]AC.[/tex3]

Os triângulos retângulos [tex3]EDV[/tex3] e [tex3]EDB[/tex3] são congruentes. Pelo teorema de Pitágoras temos que

• [tex3]\overline{EV}=\overline{BE}=\sqrt{b^2+\frac{a^2}{4}}[/tex3]

Os triângulos retângulos [tex3]ABE[/tex3] e [tex3]CBE[/tex3] são congruentes. Pelo teorema de Pitágoras, segue que

• [tex3]\overline{AB}=\overline{BC}=\sqrt{b^2+\frac{a^2}{2}}[/tex3]

Conhecidas as arestas da base, devemos encontrar a altura [tex3]VO[/tex3] do tetraedro.

A área do triângulo [tex3]VBE[/tex3] é dada por

• [tex3][VBE]=\frac{a\cdot b}{2}[/tex3]

Por outro lado,

• [tex3][VBE]=\frac{\overline{BE} \cdot \overline{VO}}{2}[/tex3]

Logo,

• [tex3]\frac{\overline{BE} \cdot \overline{VO}}{2}=\frac{a\cdot b}{2}\Longrightarrow \overline{VO}=\frac{a\cdot b}{\overline{BE}}[/tex3]

Portanto, o volume do tetreadro é

• [tex3]\frac{1}{3}\cdot[ABC]\cdot\overline{VO}= \frac{1}{3}\cdot\frac{a\cdot \overline{BE}}{2}\cdot\frac{a\cdot b}{\overline{BE}}=\frac{a^2b}{6}[/tex3]

Observe que não era necessário calcular [tex3]\overline{BE}[/tex3] nem [tex3]\overline{AB}.[/tex3]

[Gustavo_HSAL]

Excelente resposta, Karl. Eu te agradeço.